又∵PC∥a， ∴∠PDA=∠1， ∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1； （3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形． 点评： 本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答． 47、（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF． 求证：△GAB是等腰三角形．
考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定． 专题：证明题．
分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形． 解答：证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC， ∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠DAE=∠CBF， ∴∠GAB=∠GBA， ∴GA=GB， 即△GAB为等腰三角形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 48、（2013?荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可． 解答： 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE； （2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，， ， ∴△AEF≌△BCF（ASA）． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．
49、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长；
(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
111
(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BEF,使点E的对应点E落在线段AB上，点F的对应点是F，EF交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 1
11
3QG? 3
考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程
0，
分析：（1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30
由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC为6 ，从而BC=33 （2）过点Q作QN∥0B交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=t PN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后 对应边成比例计算得OE?31?t再由EF=BE易得出m22与t之间的函数关系式
0
(3)先证△AE’G为等边三角形，再证∠QGA=90
通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出
解答：(1)解：如图l∵△AOB为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。
000
∵BC⊥AB ∴∠ABC=90 ∴∠ACB=30∠OBC=30 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴BC=3AC=33 2(2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N
0
∴∠QNA=∠BOA=60=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t
∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ
∴
OEPO ?QNPNOE131?∴OE??t 3?t222∴
∵EF∥x轴
0
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE?(0 (3)解：如图2 13t? 22?BE1F1??BEF?180??EBF??EFB?120 ∴∠AEG=600=∠EAG 1 ∴GE=GA ∴△AE’G为等边三角形 1331QE1?BE1?BQ?m?t?t??t??t 222231?QE1?GA?AE1?AB?BE1?BQ??t?QE1 22∴∠l=∠2 ∠3=∠4 00 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=180∴∠2+∠3=90 0 即∠QGA=90 ∵EF∥OC ?BFBE?BCBO?BFm333??BF?3m?t?22333BC?CF?313?322 CP?CO?OP?3?t 313?3tCF23?tCP2???? CB6CA33 ∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA． ?33?t331PFCP3?t∵2BQ—PF=QG ∴2t???(3?3t)∴t=1∴??PF?32322ABCA2 当t=1 时，2BQ—PF=3QG 350、（2013?牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC． 又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB． 又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB． （1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明． （2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= +1 ． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质． 分析： （1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB﹣AE即可证得； （2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 解答： （1）如图（2）：AB﹣BD=CB． 证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=CB． 又∵BE=AB﹣AE，