∴BE=AB﹣BD， ∴AB﹣BD=CB． 如图（3）：BD﹣AB=CB． 证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=CB． 又∵BE=AE﹣AB， ∴BE=BD﹣AB， ∴BD﹣AB=CB． （2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠ABC=45°，DB⊥MN， ∴∠CBD=135°， ∵∠BCD=30°， ∴∠CBH=60°， ∴∠DBH=75°， ∴∠D=15°， ∴BH=BD?sin45°， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴DH=BH=BD=×=1， ∵∠BCD=30° ∴CD=2DH=2， ∴CH=∴CB=CH+BH==+1； ，
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等． 51、（2013?绥化压轴题）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
2
考点： 一次函数综合题 2分析： （1）通过解方程x﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答． 2解答： 解：（1）解方程x﹣14x+48=0得 x1=6，x2=8． 2∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根， ∴OC=6，OA=8． ∴C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）． 由（1）知，OA=8，则A（8，0）． ∵点A、C都在直线MN上， ∴，
解得，， ∴直线MN的解析式为y=﹣x+6； （3）∵A（8，0），C（0，6）， ∴根据题意知B（8，6）． ∵点P在直线MNy=﹣x+6上， ∴设P（a，﹣a+6） 当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）； ②当PC=BC时，a+（﹣a+6﹣6）=64， 解得，a=，则P2（﹣222，），P3（2，）； ③当PB=BC时，（a﹣8）+（﹣a+6﹣6）=64， 解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）． ，）P3（，），P4（，综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣﹣）． 点评： 本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想． 52、（2013?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形； （2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
考点： 等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形． 分析： （1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH； （3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答． 解答： （1）证明：∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵PE∥AB， ∴∠CPE=∠A， ∴∠CPE=∠C， ∴△PCE是等腰三角形； （2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k， ∴EM=CM?tanC=?k=同理：FN=AN?tanA=， ?k=4k﹣， 由于BH=AH?tanA=×8?k=4k， 而EM+FN=+4k﹣=4k， ∴EM+FN=BH； （3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16， 所以，S△PCE=x?2x=x，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x），S△ABC=×8×16=64， S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF， 22=64﹣x﹣（8﹣x）， 2=﹣2x+16x， 2配方得，S=﹣2（x﹣4）+32，
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所以，当x=4时，S有最大值32． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
53、（13年安徽省14分、23压轴题）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：
ABBE? DCEC（3）在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）