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第六章 向量空间
引言
从本章开始转向线性代数的主体—向量空间和线性映射，它们是数学中基本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域．本章学习向量空间的基本概念和有限维向量空间的结构．
6.1 向量空间的概念
教学目的 通过教学，使学生理解向量空间的定义及子空间的概念，掌握向量空间的基本表述．
教学重点 向量空间及其子空间的定义． 教学难点 对6.1定义1的理解． 教学内容
第三章学习的n维列(行)向量张成的向量空间的基本事实有其一般性，将它们抽象，就是我们现在要学习的向量空间．
6.1.1 定义公理·例子
定义1 设F是一个数域，F中的元素用小写拉丁字母a，b，c，?表示；V是一个非空集合，V中的元素用小写希腊字母?，β，γ,?表示．如果下列条件成立：
1°在V中定义了一个加法．对于??，β?V，V中有一个唯一确定的元素与它们对应，叫做?与β的和，记作?+β．
2°有一个“纯量乘法”．对于F中每一个数k与V中每一个元素?，有V中唯一确定的元素与它们对应，叫做k与?的积，记作k?．
3°上述加法和纯量乘法满足下列算律： 1)? +β=β+?；
2)(? +β)+γ=? +(β+γ)；
3)在V中存在一个元素，记作?，它具有以下性质：对于??∈V，都有? +? =?；
~，使得?~+?=?； 4)对于??∈V，在V中存在一个元素?5)k(? +β)=k? +kβ； 6)(k+l)? =k? +l?； 7)(kl)? =k(l?)； 8)1? =?．
这里??，β，γ∈V，?k，l∈F．
那么称V是F上的一个向量空间，其中V中的元素叫做向量，F中的元素叫做纯量．
例1 在解析几何中，平面或空间中从一个定点出发的一切向量的集合关于向量
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的加法和实数与向量的乘法都作成实数域上的向量空间．前者用V2表示，后者用V3表示．
例2 数域F上所有m3n矩阵所成的集合Fm?n关于矩阵的加法和数与矩阵的乘法也作成F上的一个向量空间，叫做m×n全矩阵空间．
特别地，F上所有13n矩阵所成的集合和所有n31矩阵所成的集合分别作成F上向量空间，前者称为F上n维行空间，后者称为F上n维列空间．我们用同一个符号Fn来表示这两个向量空间(具体使用时请注意区分)．
例3 复数域C可以看成实数域R上的向量空间．
类似地，Q、R可分别看作Q上的向量空间，又任意数域F总可以看成它自身上的向量空间．
例4 数域F上所有一元多项式的集合F[x]关于多项式的加法和数与多项式的乘法作成F上的一个向量空间．
进而，n元多项式的集合F[x1，x2，?，xn]关于多项式的加法和数与多项式的乘法也作成F上的一个向量空间．
例5 由于F[x1，?，xn]中两个m次齐次多项式的和是m次齐次多项式或零多项式，F中元素与m次齐次多项式的乘积是m次齐次多项式或零多项式．因此，F[x1，?，xn]中所有m次齐次多项式添上零多次式组成的集合构成数域F上的一个向量空间(易见8条公理均成立)．
例6 由于F[x1，?，xn]中两个对称多项式的和仍是对称多项式，F中元素与对称多项式的乘积仍是对称多项式．因此F[x1，?，xn]中所有对称多项式组成的集合构成数域F上的一个向量空间．
例7 设X是任意一集合，F是任一数域，从X至F的每一个映射f叫做X上的一个(F值)函数．我们把X上的所有(F值)函数组成的集合记作FX．对于f，g∈FX，k∈F，在FX中规定：
(f+g)(x)=f(x)+g(x),? x∈X， (1) (kf)(x)=k(f(x)), ?x∈X． (2)
容易验证条件3°的1)－8)成立．因此FX是数域F上的一个向量空间，其中(1)式称为函数的加法，(2)式称为F的元素与函数的纯量乘法，FX的零元素是零函数0，即0(x)=0，?x∈X．
例8 设X是实数域R的任一子集．由例7，X上的所有(实值)函数组成的集合RX按照函数的加法以及实数与函数的纯量乘法，构成实数域R上的一个向量空间．
例9 设[a,b]是实数轴上的一个闭区间，[a,b]上的连续函数全体记作C[a,b]．从数学分析课程知道，[a,b]上的两个连续函数的和仍是连续函数，实数k与连续函数f的纯量乘积kf也是连续函数．因此，C[a,b]是实数域上的一个向量空间．
例10 类似于例9，区间[a,b]上所有n次可微函数(1阶，2阶，?，n阶导数存在的函数)组成的集合是实数域上的一个向量空间，记作C(n)[a,b]．
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例11 考虑收敛于0的实无穷序列．设{an}，{bn}是两个这样 的序列．则lim?an?bn??liman?limbn?0．设k是任意实数，则
n??n??n??n??limkan?kliman?0．容易验证，条件3°的1)－8)成立．因此，
n??所有收敛于0的实序列关于如上定义的加法和数与序列的乘法作成实数域R上的一个向量空间．
向量空间的例子是大量的，仅从上述例子足可看出，向量空间的内涵极其深刻． 注 1)可以证明，定义1中3°的算律8)不能由1)－7)推出．请同学们思考． 2)定义1中的数域F可以一般化为域F．但这依赖于抽象代数的知识． 6.1.2 简单性质
从定义出发我们来推导向量空间的一些简单性质．
由于向量的加法满足结合律(3°之2)),可以推出,任意n个向量α1,α2,?,αn相加有完全确定的意义．我们按通常的习惯把这唯一确定的和记作
?1??2????n???i．
i?1n再者，又由于加法满足交换律(3°之1))，因而在求任意n个向量的和时可以任意交换被加项的次序．
~叫做?的负向量．由此定义，可以推定义1中3°之3)的? 叫做零向量，4)的?出
命题6.1.1 在一个向量空间V中，零向量是唯一的；对于V中的每一向量?，?的负向量由α唯一确定．
~证 先证零向量的唯一性．设? 和?都是V的零向量，则??∈V都有? +?=?，~? +? =?．于是
~~? =? +?=?．
~和?都是? 的负向量．则?~+?=? ，? +?=?．于是 又设?~??~????~?(???)?(?~??)????????． ??
我们把向量?的唯一的负向量记作－?．这样，对于任意向量?，都有 ?+(－?)=(－?)+?=θ．
向量?+(－β)叫做?与β的差，记作?－β．于是，在一个向量空间中，加法的逆运算——减法可以实施，并且有
? +β=γ?? =γ－β． (3)
这就是说，在一个向量空间里，通常的移项变号法则成立．
下面来看纯量乘法，我们有 命题6.1.2 设???V，k?F，则
0? =? ，k? =?． (4) k(－?)=(－k)? =－k?． (5)
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k? =? ?k=0或? =?． (6)
证 先证(4)．0? =0? +? =0? +(0?－0α)=(0? +0?)－0?
=(0+0)?－0? = 0?－0? =?．
同理可证k? =?．所以(4)成立．
由(4)有
k? +k(－?)=k(? +(－?))=k? =?
这就是说，k(－?)是k?的负向量．所以k(－?)=－k?．同理可证(－k) ? =－k?．这就证明了(5)成立．
最后，设k? =? 但k?0，则
11?1???1???k????k??????．
kk?k?所以(6)成立． ?
6.1.3 子空间
设V是数域F上的一个向量空间，?≠W?V,??,??W,则? +β∈V．一般说来．?
+β不一定在W内．若? +β∈W，则称W关于V的加法是封闭的．同样，若??∈W，k∈F，都有k?∈W，则称W关于纯量与向量的乘法是封闭的．
定理6.1.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集．若W关于V的加法以及纯量与向量的乘法是封闭的，则W作成F上的一个向量空间．
证 W关于V的加法以及纯量与向量的乘法的封闭性保证了向量空间定义里的条件1°，2°成立．3°中的算律1)，2)和算律5)— 8)既然对于V中任意向量都成立，自然对于W的向量也成立．唯一需要验证的是3°中条件3)和4）．由W关于纯量与向量的乘法的封闭性和命题6.1.2，??∈W，θ=0?∈W，所以θ∈W，它自然也是W的零向量，并且－?＝(－1) ?∈W．因此，条件3)，4)也成立． ?
定义2 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集．若W关于V的加法以及纯量与向量的乘法来说是封闭的，则称W是V的一个子空间．
由定理6.1.1，V的一个子空间也是F上的一个向量空间，并且一定含有V的零向量．
例12 向量空间V总是它自身的一个子空间．另一方面，单独一个零向量所成的集合{θ} 显然关于V的加法和纯量与向量的乘法是封闭的，因而也是V的一个子空间，称为零子空间，记作0．
一个向量空间V本身和零子空间叫做V的平凡子空间，V的非平凡子空间叫做V的真子空间．
例13 在空间V2里，从原点出发的在一条固定直线上的所有向量的集合作成V2
的一个子空间．在空间V3里，从原点出发的在一条固定直线上或一张固定平面上的所有向量的集合分别作成V3的子空间．
例14 在Fn中，W???a1,a2,?,an?1,0?|a1,?,an?1?F?是Fn的一个子空间． 例15 F[x]中次数小于一个给定的自然数n的多项式全体连同零多项式一起作成F[x]的一个子空间，记作F[x]n．
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例16 闭区间[a,b]上一切可微函数的集合作成C[a,b]的一个子空间． 定理6.1.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间，必要且只要?k，r∈F和??，β∈W，都有k? +rβ∈W．
证 若W是子空间，则由于W关于纯量与向量的乘法是封闭的知道，?k，r∈F，?，β∈W，都有k?，rβ∈W．又因为W关于V的加法是封闭的，所以k? +rβ∈W．
反过来，若?k，r∈F，?，β∈W，都有k? +rβ∈W，取k=r=1，就有? +β∈W；取r=0，就有k?∈W．这就证明了W关于V的加法以及纯量乘法的封闭性． ?．
教学小结：
课外作业：
P264~265：1.1)；2、1)、2)；3；4． 思考题：
P264~265：1.2)~4)；5．