高等代数 第31页
2 ?W2． ?例9 设W1，?，Ws是V的真子空间，则存在α?V，使α?W1∪?∪Ws． 证：对s进行归纳．当s = 1，2时，结论正确． 假设s－1情形结论正确，我们来证明s时正确．事实上，由假设存在β1，使β1?W1∪?∪Ws－1．若β1∈Ws．同样存在β2，使β2?W2∪?∪Ws．若β2?W1，则命题得证．若β2∈W1，作?k=β1+k??k1??1?k1?2,?????k? 122?k2β2，k为正整数，显然?k?W1∪Ws，当k1≠k2时，若?k1,?k2∈Wi，2≤i≤s－1，有 由于1k1?0，得到β1，β2∈Wi，矛盾．因为k=1,2,?,n,?,可得到无限个 1k2αk,由于Wi中至多含一个?k．又Wi的个数有限，故存在αk (其实无限多个)，使αk?W1∪?∪Ws． ? 进而还可证明： 1)设W1，?，Ws是有限维空间V的真子空间，则存在V的一个基，使得其中的每一个向量均不在W1，?，Ws中． 2)设V是不可数数域F上的n维向量空间．则存在V的可数个真子空间不能复盖它．
高等代数 第32页
第七章 线性映射 线性变换 引言 保持向量空间运算的映射十分重要，本章将对之作基础性的讨论，并把重点放在有限维情形．因此，同学们也将学习代数表示的思想，学习无论在理论上，还是在应用上都颇有价值的特征值的基础知识． 7.1 线性映射的概念 教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性映射（线性变换）的定义、向量空间的同构及线性映射的值域与核等概念，基本掌握线性映射的存在、唯一性命题及向量空间同构的刻画定理． 教学重点 线性映射（变换）及向量空间同构的概念． 教学难点 值域与核概念的理解及向量空间同构的证明． 教学内容 本节阐述线性映射的概念，由之得到向量空间之间的重要关系：同构的概念． 7.1.1 定义与例子 设F是一个数域，V和W都是F上向量空间． 定义1 设?是V到W的一个映射．??，?∈V，k∈F．若下列条件成立： 1)? (?+?)=? (?)+? (?)； 2)? (k?)=k? (?)， 则称?是V到W的一个线性映射． V到自身的线性映射叫做V的线性变换． ?111?323例1 设??=(x1，x2)∈R，定义? (?)=(x1,x2)??0?11???R则?是R到R??2的一个映射．我们来证明，?是一个线性映射． 1)设?? =(x1，x2)，?=(y1，y2) ∈R 2，k∈R，则 ????????((x1?y1,x2?y2)) ?(x1?y1,(x1?y1)?(x2?y2),(x1?y1)?(x2?y2)) ?(x1,x1?x2,x1?x2)?(y1,y1?y2,y1?y2)??(?)??(?), 2)?(k?)??((kx1,kx2))?(kx1,kx1?kx2,kx1?kx2)?k?(?)． 因此，?是R2到R3的一个线性映射． 高等代数 第33页
?x1???例2 设A∈Fmxn,????x2??Fn,规定?(?)?A?,则?(?)?Fm. ???x???n? 根据矩阵运算的性质，?k∈F，?，?∈Fn，都有 ?(???)?A(???)?A??A???(?)??(?)； ?(k?)?A(k?)?k(A?)?k?(?)． 所以?是Fn到Fm的一个线性映射． 例3 设V和W是数域F上向量空间．???V，令?对应W的零向量?．易见这是V到W的一个线性映射，叫做零映射． 例4 取定F的一个数k，??∈V，规定?(?)?k?．易证?是V的一个线性变换，叫做V的一个位似(或纯量变换)． 特别地，取k=1，则??∈V，都有? (?)=?，这时?就是V的恒等变换1v，即V的单位变换．若取k=0，则?就是V的零变换． 例5 取定F的一个n维行向量(a1，a2,?,an)．对于??= (x1,x2, ?,xn)∈Fn，规定?(?)?a1x1?a2x2???anxn?F．易证，?是Fn到F的一个线性映射．这样线性映射叫做F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型． 例6 几何空间V3到经过原点O的平面W上的正投影?是V3上的一个线性变换(如图7－1所示)．因为设α0是平面W的单位法向量，由解析几何推得 ?(?)???(?,?0)?0，???V． 其中(?,?0)是?与?0的内积．于是，直接验证知道σ保持向量加法 和纯量乘法． 例7 求导数是C(1)(a，b)到 ，R (ab) 的一个线性映射，用D或 δ表示，即 图7?1 D(f(x))?f?(x)． 例8 向量空间C [a，b]到自身上的一个映射 J(f(x))??af(t)dt x是C[a，b]上的一个线性变换． 下面对定义1作两点说明．首先，定义1里的条件1)，2)与下面的条件等价： 3)?(k??r?)?k?(?)?r?(?)，其中?k，r∈F，??，?∈V． 事实上，若映射?：V?W满足条件1)与2)，则?k，r∈F与??，?∈V，有 ?(k??r?)??(k?)??(r?)?k?(?)?r?(?)． 反之，设3)成立．取k=r=1，就得到条件1)；取r=0，就得到条件2)． 高等代数 第34页
在条件2)里，取k=0，就得到?(?)??，即线性映射将零向量映成零向量． 由3)，对n作数学归纳法，易得 ?(k1?1???kn?n)?k1?(?1)???kn?(?n)，?ki?F，?i?V，i?1，?，n． 其次考虑线性映射的存在性，我们来证明三个命题． 命题7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，且V是有限维的，?和τ都是V到W的线性映射．在V中取一个基?1,?,?n．若?和τ对这个基的作用相同，即 ?(?i)??(?i)，i?1,?,n， 则? =τ． 证 任取V的一个向量??k1?1???kn?n，因为 ?(?)?k1?(?1)???kn?(?n)?k1?(?1)???kn?(?n)??(?)， 所以? =τ． ? 命题7.1.1表明，V到W的一个线性映射完全被它对V的一个基的作用所决定．现在要问：给了数域F上的任意两个向量空间V和W，是否存在V到W的线性映射？此回答是肯定的，特别是当V是有限维时，则有 命题7.1.2 设V和W都是数域F上的向量空间，且?1,?,?n是V的一个基，在W中任意取定n个向量?1,?,?n(它们中可以相同)，则存在V到W的唯一的线性映射σ，使得 ?,n． ?(?i)??i，i?1，证 存在性 任取??k1?1???kn?n∈V．规定 ?(?)?k1?1?k2?2???kn?n． (1) 由于?1,?,?n是V的一个基，所以(1)定义了V到W的一个映射．又????ki?i， i?1n???ri?i?V，?a?F，有 i?1n?(???)??(?(ki?ri)?i)??(ki?ri)?i??ki?i??ri?i??(?)??(?); i?1i?1i?1i?1nnnn?(a?)??(?(aki)?i)??(aki)?i?ai?1i?1nn?k?ii?1nl?a?(?)． 2，?，n． 因此?是V到W的一个线性映射，并且由(1)易见? (?i)=?i, i?1，?的唯一性由命题7.1.1立得． ? 命题7.1.3 设V是数域F上的任一向量空间．若存在V的子空间U，W，使得V=U?W，则存在V上唯一的一个线性变换?U,使得 ??，当??U；?U(?)?? （2） 0，当??W．?这个线性变换?U称为平行于W在U上的投影(射影)． 高等代数 第35页
证 任取??V，设???1??2,?1?U,?2?W，令 ?U(?)??1， 则?U是V到V的一个映射(因为α写成???1??2的表法唯一)，并且对???1??2,?1?U,?2?W，则 ?U(???)??U((?1??1)?(?2??2))??1??1??U(?)??U(?)， ?U(k?)??U(k?1?k?2)?k?1?k?U(?)，?k?F．因此,?U是V上的一个线性变换.又若??U,则?U(?)??U(???)??;若??W，则?U(?)??U(???)??．存在性得证． 唯一性 设V上的线性变换τ满足(2)．任取α∈V，设???1??2,?1?U, ?2?W，则 ?(?)??(?1??2)??(?1)??(?2)??1????1??U(?)． 因此，???U． ? 类似地，定义?W(?)??2，则?W也是线性变换，称它为平行于U在W上的投影． 7.1.2 值域与核 考虑线性映射导出的子空间，其中基本又重要的有值域与核，下面先介绍它们的概念． 设?是向量空间V到W的一个线性映射．若V??V，则??(?)??V??是W的一个子集，叫做V?在?之下的像，记作σ(V?)．另一方面，设W??W，则???V?(?)?W??是V的一个子集，叫做W?在?之下的原像．对此，我们有 命题7.1.4 设V和W都是数域F上的向量空间，而?：V?W是一个线性映射，则V的任意子空间在?之下的象是W的一个子空间；而W的任意子空间在?之下的原像是V的一个子空间． 证 设V?是V的一个子空间．若?，?∈?(V?)，则有?，?∈V?，使???(?)，???(?)．因为?是线性映射，所以对于?k，l∈F，有 ?k??l??k?(?)?l?(?)??(k??l?)． 但V?是V的子空间，有k??l??V?，因而k??l???(V?)，这就证明了? (V?)是W的一个子空间． 现在设W?是W的一个子空间．令V?是W?在?之下的原象．显然??V?．若?，?∈V?，则?(?),?(?)?W?．因而对于?k，l∈F，都有 ?(k??l?)?k?(?)?l?(?)?W?， 故k??l??V?．因此，V?是V的一个子空间． ? 特别地，向量空间V在?之下的象是W的一个子空间，叫做σ的值域，记作Im?，即