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Im???(V)． (3) 另一方面，W的零子空间0在?之下的原象是V的一个子空间，叫做?的核，记作Ker?，即 Ker??{??V?(?)??}． (4) 定理7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，而?：V?W是一个线性映射，则 1)?是满射?Im??W； 2)?是单射?Ker??0． 证 结论1)是显然的，我们只证结论2)． 若?是单射, 则Ker?只能含有唯一的零向量. 反过来设Ker? =0.若?,??V，且?(?)??(?),则?(???)??(?)??(?)??.于是???? Ker? =0，故?－?=? ，即???．因此，?是单射． ? 7.1.3 向量空间的同构 考虑既单且满的线性映射，我们引入 定义2 设?是向量空间V到W的一个线性映射．若?是双射，则称?是V到W?的一个同构映射，记作?：V?W或V?W． 若V与W间存在一个同构映射，则说向量空间V与W同构，记作V?W． 命题7.1.5 设V，W是数域F上的两个向量空间，?是V到W的一个同构映射，?1,?2,?,?n是V的任一个向量组，则?1,?2,?,?n线性无关的充分且必要条件是?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关． 证 必要性 若?1,?2,?,?n线性无关，设 k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?? 则?(k1?1?k2?2???kn?n)=?．由于?是单的，有k1?1?k2?2?? ?kn?n=?，但?1,?2,?,?n线性无关，所以k1?k2???kn=0，故?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关． 充分性 设k1?1?k2?2???kn?n=?，则 k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)??． 由条件有?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关，因而k1?k2???kn=0，故?1,?2,?,?n线性无关． ? 定理7.1.2 数域F上两个有限维向量空间同构的充分且必要条件是它们的维数相同． 证 设V与W是数域F上的有限维向量空间．若dimV=dimW=n， 可设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n分别为V与W的基．对于???ki?i， 定义?(?)??ki?i，则由命题7.1.2的证明知道?是V到W的一个 i?1ni?1n线性映射，且有 高等代数 第37页
1)设???ki?i，????ki??i，则 i?1i?1nn?????ki?ki?(i=1，2，?，n)??ki?i??ki??i??(?)??(??)； i?1i?1nn2)????li?i?W，取???li?i?V，则?(?)=β． i?1i?1nn因此，?是一个双射，故V?W． 反之，设? :V?W，dimV=n，?1,?2,?,?n为V的一个基，则由命题7.1.5知?(?1),?(?2),?,?(?n)是W的一个线性无关向量组．又因为?是满的，所以对任意的??W，存在??V，使得?(?)??．又 可设???ki?i，于是 i?1n????(?)?k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)． 因此，W=L(?(?1), ?(?2),?,?(?n))．故，?(?1),?(?2),?,?(?n)是W一个基，从而dimW=n． ? 推论7.1.1 设V是数域F上n维向量空间，则V?F． ? n
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7.2 线性映射的运算 教学目的 通过教学，使学生基本掌握线性映射的运算及其基本性质，理解EndV所成的代数． 教学重点 线性映射（变换）所成的代数． 教学难点 对线性变换环的理解． 教学内容 由已知线性映射导出新的线性映射，基本的方法是对其进行运算，本节就来讨论这个问题． 7.2.1 基本运算及其代数系统 设V,U,W都是数域F上的向量空间，我们把V到U的所有线性映射组成的集合记作Hom(V，U)．类似地，Hom(U，W)表示U到W的所有线性映射组成的集合． 设??Hom(V，U)，?? Hom(U，W)，由于映射有乘法(合成)运算，因此线性映射也有乘法运算，其乘积??是V到W的映射，且有 命题7.2.1 设??Hom(V,U),??Hom(U,W),则???Hom(V,W). 证 设?,β∈V，k∈F，则 (??)(???)??(?(???))??(?(?)??(?))??(?(?))??(?(?)) ?(??)(?)?(??)(?)， (??)(k?)??(?(k?))??(k(?(?)))?k(?(?(?))?k((??)(?))． 因此??是线性映射． ? 由于映射的乘法满足结合律，因此线性映射的乘法也满足结合律．注意到映射的乘法不满足交换律，此对线性映射也成立，即其乘法不满足交换律．又设??Hom(V,U)，易见 ?1V??， 1U???． (1) 命题7.2.2 设??Hom(V，U) ．若?是可逆的，则其逆映射??1? Hom(U，V)． 证 因为?可逆，所以有U至V的映射??1，使得 ???1?1U, ??1??1V． 于是??，?∈U，?k∈F，有 ??1(???)???1[(???1)(?)?(???1)(?)]???1[?(??1(?))??(??1(?))] ???1[?(??1(?)???1(?))]?(??1?)(??1(?)???1(?))???1(?)???1(?)．类似可证??1(k?)?k??1(?)，因此??1?Hom(U,V)． ? 因为V到U的映射?可逆的充分且必要条件为?是双射，所以?是V到U的可逆的线性映射，当且仅当?是V到U的同构映射． 由于数域F上两个有限维向量空间V和U同构的充分且必要条件是它们的维数相同，因此V到U有可逆线性映射存在的充分且必要条件是dimV =dimU. 高等代数 第39页
特别地，有限维向量空间V一定存在可逆的线性变换．?是V的可逆线性变换，当且仅当?是V到自身的一个同构映射(称为V的一个自同构)． 再注意到V的自同构也存在．因此，由命题7.2.1、命题7.2.2得到，数域F上向量空间之间的同构关系满足下列三个性质： 1)反身性 V?V； 2)对称性 若V?W，则W?V； 3)传递性 若V?W，W?U，则V?U． 由于线性空间有加法运算，因此可以定义线性映射的加法运算． 设?，??Hom(V,U)，定义它们的和? +?为 (???)(?)??(?)??(?)， ???V． (2) 容易证明?+?∈Hom(V，U)．因为 (???)(???)??(???)??(???)??(?)??(?)??(?)??(?) ?(?(?)??(?))?(?(?)??(?))?(???)(?)?(???)(?)．类似可得(???)(k?)?k(???)(?)．这证明了? +?∈Hom(V，U)． 容易验证，线性映射的加法满足交换律，结合律；且零映射0具有性质： 0????, ?? ∈Hom(V，U)； (3) 并且? ?Hom(V，U)，可以定义它的负映射－?为： (??)(?)???(?)， ???V． (4) 容易验证－? ?Hom(V，U)，且 ?????0． (5) 这时，线性映射的减法定义为??????(??)． 线性映射的乘法对于加法满足左右分配律，即设?，?∈Hom(V，U)，?∈Hom(U，W)，?∈Hom(M，V)，则 ?(???)??????， (6) (???)???????． (7) 左分配律的证明 设??∈V，则 (?(???))(?)??((???)(?))??(?(?)??(?))??(?(?))??(?(?)) ?(??)(?)?(??)(?)?(?????)(?)．所以?(???)??????．右分配律的证明请同学们完成． 利用线性映射的乘法和纯量变换(位似)可以定义线性映射的纯量乘法． 设?∈Hom(V,U)，k∈F,定义k与?的纯量乘积k?为(k?)(?)?k(?(?))．直接验证k?∈Hom(V，U)，且它是§1例4所述的V的位似与?的乘积． 容易验证，线性映射的纯量乘法满足以下规则： 1???， (9) (kl)??k(l?)， (10) (k?l)??k??l?， (11) 高等代数 第40页
k(???)?k??k?， (12) k(??)?(k?)???(k?)， (13) 其中k，l∈F，?，?∈Hom(V，U)，?∈Hom(W，V)． 从以上讨论看出，Hom(V，U)有加法和纯量乘法两种运算，并且满足向量空间八条公理，因此Hom(V，U)是数域F上的一个向量空间． 特别地，Hom(V，V)有加法、纯量乘法、乘法三种运算．一方面，Hom(V，V)是数域F上的一个向量空间；另一方面，Hom(V，V)对于加法、乘法两种运算成为一个有单位元的环；并且乘法与纯量乘法满足(13)．因此，注意到 定义1 设非空集合A定义了加法运算，乘法运算，以及与数域F的纯量乘法运算．若A对于加法和乘法成为一个环，A对于加法和纯量乘法成为数域F上的一个向量空间，并且对?k∈F，a，b∈A有 k(ab)?(ka)b?a(kb)， (14) 则称A是数域F上的一个代数．若A作为数域F上的向量空间是有限维(无限维)的，则称代数A是有限维(无限维)的；并把F上向量空间A的维数称为代数A的维数． 因此，Hom(V，V)是数域F上的一个代数．Hom(V，V)也常记作EndV． 7.2.2 线性变换的多项式 由于线性变换的乘法满足结合律，因此?n∈N*，可以定义向量空间V的线性变换?的n次幂： n个???????????， (15) n并且约定 ?0?1V． (16) 于是易证指数法则成立： ?n?m??n?m， (?m)n??mn， m，n≥0 (17) 当线性变换?可逆时，定义?的负整数指数幂为 ??n?(??1)n． (18) 这时，指数法则可以推广到负整数指数幂的情形．请注意，一般说来，(??)n??n?n． 设?∈EndV，m是非负整数，如下表达式 am?m?am?1?m?1???a01V,ai?F,i?0,1,?,m (19) 叫做线性变换?的多项式，记成f(?)，其中f(x)??aixi?F[x]，它仍是V上的一个i?0m线性变换．V上线性变换?的所有多项式组成的集合记作F[?]．显然，F[?]是EndV的一个非空子集．