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在x=0处，W?0??10?1?0．因此excosx,sinx线性无关． 11例5 判断实数域上向量空间RR中的函数组x2, x|x|是否线性无关． 解 假设k1x2+k2 x|x|=0．令x=1，得k1+k2=0．令x= －1，得k1－k2=0．因此，k1=k2=0．这表明x2, x|x|线性无关． 例5中的函数f2(x)= x|x|在(－∞，∞)上有一阶导数，因此x2, x|x| 有Wronsky行列式 x2xxW?x???0， ?x????，??． 2x2x由此可见，命题6.2.5只给出了n－1次可微函数组f1(x)，?，fn(x)线性无关的一个充分条件，它不是必要条件． 教学小结： 课外作业：
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6.3 基、维数与坐标 教学目的 通过2学时的教学，使学生理解向量空间的基、维数、坐标等基本概念，基本掌握基、维数的刻画定理及基与坐标的求解． 教学重点 向量空间的基、维数和坐标的刻画及其求解． 教学难点 向量线性无关性概念、定理对基、维数刻画的活用． 教学内容 高等代数中所说的向量空间，主要是有限维空间，这一节就来讨论这类向量空间结构的基本问题． 6.3.1 基和维数 设V是数域F上一个向量空间,α1，α2，?，αn∈V．令L(α1, ?n??，kn?F?，则L(α1，α2，?， α2，?，αn)=??ki?ik1，k2，?i?1?αn)是V的一个子空间，叫做由α1,α2,?,αn生成的子空间，其中向量α1，α2，?,αn叫做这个子空间的一组生成元． 例1 在F[x]中，由多项式1，x，?，xn-1所生成的子空间为 L(1，x，?，xn-1)={a0+a1x+?+an-1xn-1| ai∈F}， 就是F上一切次数小于n的多项式连同零多项式所成的子空间F[x]n． 设?i，?i，由命题6.2.3，子?，?ir是向量组{α1,α2,?,αn}的一个极大无关组．12空间L(α1，α2，?，αn)的每一个向量都可以由?i1，?i2，?，?ir线性表示．另一方面?i1，?i2，?，?ir的任意一个线性组合自然是L(α1，α2,?,αn)中的向量．因此我们有 命题6.3.1 设{α1，α2，?，αn}是向量空间V的一组不全为零的向量，而{?i1,?i2,?,?ir}是它的一个极大无关组．则 L(α1，α2，?，αn)=L(?i1,?i2,?,?ir)． ? 根据这个命题，若子空间L(α1，α2，?，αn)不等于零空间，则它总可以由一组线性无关的生成元生成． 一个向量空间V本身也可能由其中某n个向量生成，因此引入以下的 定义1 设{α1，α2，?，αn}是数域F上向量空间V的向量组，满足以下条件： 1)α1，α2，?，αn线性无关； 2)V中每一个向量都可以由α1，α2，?，αn线性表示， 则称{α1，α2，?，αn }是V的一个基． 例2 在空间V2里，由原点出发的任意两个不共线的向量α1，α2都构成一个基；在V3里，由原点出发的任意三个不共面的向量β1，β2，β3都构成一个基． 高等代数 第13页
例3 在数域F上的m×n矩阵空间Fm×n里，?A=(aij)mn∈Fm×n，都可以表成 A=??aijEij； i?1j?1mn且若??aijEij?0，即(aij)mn是零矩阵，则aij=0，i=1，?，m，j=1，?， i?1j?1mnn．因此,{Eiji?1，?，m；j?1，?，n}是Fm×n的一个基． 数域F上的一个向量空间若有基，当然不只有一个基．然而根据基的定义，一个向量空间的任意两个基是彼此等价的．于是由推论6.2.1，一个向量空间的任意两个基所含向量的个数是相等的．因此引入 定义2 一个向量空间V的一个基所含向量的个数叫做V的维数，记作dimV． 零空间的维数定义为0． 这样，空间V2的维数是2，V3的维数是3；Fn的维数是n；向量空间Fm×n的维数是mn． 例4 求数域F上所有n阶反对称矩阵组成的向量空间V的一个基及其维数． 解 任一n阶反对称矩阵A具有形式 a12?a1n??0???a0?a122n?． A???????????a1n?a2n?0?因此 A?a12?E12?E21??a13?E13?E31??? ?a1n?E1n?En1????an?1n?En?1n?Enn?1?． ① 由于 ?Eij?Eji???Eji?Eij???Eij?Eji?， ?，En?1n?Enn?1都是反对称矩阵．假设 所以E12?E21，E13?E31，k12?E12?E21??k13?E13?E31????kn?1n?En?1n?Enn?1??0，② ，?，n}是由于{Eiji?1,?,n；j?1Mn(F)的一个基，所以E12，E21，E13，E31，?，En?1n，Enn?1线性无关，从而由②可推出k12? ?En?1n?Enn?1?线性无关．又由①便可得出，k13???kn?1n?0．故?E12?E21?，?，E12?E21，?，En?1n?Enn?1是V的一个基，且 dimV??n?1???n?2????1?n?n?1?． 2若一个向量空间不能由有限个向量生成，则它自然也不能由有限个线性无关的向量生成．对这一情形，就说这个向量空间是无限维的． 例5 F[x]作为F上向量空间是无限维的． 事实上，假设F[x]由有限个多项式f1(x)，f2(x)，?，ft(x)生成．自然可以设这些高等代数 第14页
多项式都不为零．令n是这t个多项式的次数中最大的，则F[x]中次数大于n的多项式不可能由这t个多项式线性表示．这就导致矛盾，故F[x]是无限维的． 由此易见§1中向量空间C[a，b]也是无限维的． 命题6.3.2 在n维向量空间V中，任意n个线性无关的向量都是V的一个基． 证 设α1，?αn是V中n个线性无关的向量．任取γ∈V，只要证γ可由α1，?αn线性表示，则α1，?αn便是V的一个基．因为dimV=n，所以V有一个基?1，?2，?，?n．于是向量组α1,?αn，γ可由β1，?βn线性表出．因为n+1>n,所以由定理6.2.2推得，α1，?αn，γ线性相关．由于α1，?，αn线性无关，所以由命题6.2.4知道，γ可由α1，?αn线性表示． ? 由命题6.3.2的证明易见 命题6.3.3 n维向量空间中个数多于n的任意向量组一定线性相关． ? 定理6.3.1 在n维向量空间V中，任意一个线性无关的向量组{α1，?，αr}都可以扩充成V的一个基． 证 若r=n，则α1，?αn是V的一个基．下设r 例6 取定V3中三个不共面的向量α1，α2，α3．则V3的每一向量?可以唯一地表成 ??x1?1?x2?2?x3?3 的形式．向量?在基{α1，α2，α3}下的坐标就是(x1，x2，x3)． 例7 Fn的向量α=(a1,a2,?,an)在标准单位基?e1,e2,?,en?下的坐标就是(a1,a2,?,an)． ?，?n}下的坐标分别是(x1，设n维向量空间V的向量?，β在基{?1，?2，x2，?，xn)和(y1，y 2，?，yn)： ??x1?1?x2?2???xn?n， ??y1?1?y2?2???yn?n． 则 ?????x1?y1??1??x2?y2??????xn?yn??n． 若k∈F，则 k???kx1??1??kx2??2????kxn??n． 于是得到． {?1,?2,?,?n}是V的一个基．定理6.3.3 设V是数域F上一个n维向量空间，若?，β∈V，它们在基{?1,?2,?,?n}下的坐标分别是(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)，则?+β在这个基下的坐标就是(x1+y1，x2+y2，?，xn+yn)；又若k∈F．则k?在这个基下的坐标就是(kx1,kx2,?,kxn)． ? 6.3.3 子空间的维数 由定理6.2.2和定理6.3.1得到 命题6.3.4 设V是F上n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤dimV；并且W的一个基可以扩充为V的一个基． ? 命题6.3.5 同命题6.3.4所设，则W=V，当且仅当dimW=dimV． 证 必要性是显然的．反之，即dimW=dimV=n，{α1,α2,?,αn}是W的一个基，则它是V的一个线性无关向量组．于是，由命题6.3.2知道它也是V的一个基．因此，W=L(α1，?，αn)=V．? 定理6.3.4 V中向量组{α1，α2，?，αs}生成的线性子空间L(α1，α2，?，αs)的维数等于向量组{α1，α2，?，αs}的秩；向量组{α1，α2，?，αs}的一个极大线性无关组就是L(α1，α2，?，αs)的一个基． 证 设向量组{α1，α2，?，αs}的一个极大线性无关组是?j1，?j2，?，?jr，由线性表示的传递性，{α1，?，αs}中每一个向量可以由?j1,?j2,??jr线性表出，从而?j1,?j2,??jr是L(α1，α2，?，αs)的一个基．由此得出L(α1，α2，?，αs)的维数等于向量组{α1，α2，?，αs}的秩． ? 命题6.3.6 向量空间V中两个向量组{α1，α2，?，αs}与{?1,?2,?，?m}生成的子空间相同的充分且必要条件是这两个向量组等价．