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子空间直和的概念可以推广到s(s≥2)个子空间的情形． 定义3 设W1，W2，?，Ws 都是数域F上向量空间V的子空间，若和W1+W2+?+Ws 中每个向量α可唯一地表示成 ???1??2????S,?i?Wi?i?1,2,?,s?， 则称这个和为直和，记作W1?W2???Ws或?Wi. i?1s定理6.5.4 设W1，W2，?，Ws是数域F上向量空间V的子空间，则下列命题彼此等价： 1)和W1，W2，?，Ws是直和； 2)和?Wi中零向量的表法唯一； i?1s3)Wi∩?Wj?0，i=1,2,?,s． j?i证 1)? 2) 显然． 2)?3) 任取α∈Wi∩?Wj，则－α∈Wi且α∈?Wj．于 j?ij?i是α=??j，其中αj∈Wj．因此零向量可以表成 j?i?=(－α)+α=(－α)+??j j?i故由2)得－α=?，所以α=?．于是Wi∩?Wj=0． j?i3) ?1) 任取α∈?Wi，假设α有两种表法： i?1sα=α1+α2+…+αs，αi∈Wi (i =1，2，?，s)， α=β1+β2+?+βs，βi∈Wi (i=1，2，?，s)． 任取i∈{1，2，?，s}，由上两式可得 j?i?i??i????j??j??Wi??Wj j?i因为Wi∩?Wj=0，所以βi－αi=θ，即βi=αi，i=1,2,?,s． ? j?i定理6.5.5 设W1，W2，?，Ws是数域F上向量空间V的有限维子空间，则下列命题互相等价： 1)和?Wi是直和； i?1s2)dim(W1+W2+?+Ws)= ?dimWi； i?1si?1s3)Wi的一个基，i=1，2，?，s，合并起来是?Wi的一个基． 高等代数 第27页
证 1)?2) 因为和?Wi是直和，据定理6.5.4得，Wi∩?Wj i?1sj?i=0，i=1，2，?，s．于是 dim(?Wi)=dim(W1+?Wj)=dimW1+dim(?Wj) i?1sj?1j?1注意到Wi∩j?i，1?Wj?Wi∩?Wj=0．因此对s用归纳法，则得 j?idim(?Wj)=?dimWj， j?1sj?1s从而得到 dim(?Wi)=?dimWi． i?1i?12)?3) 类似于定理6.5.3 证明中的2) ?3)． 3)?1) 易证和?Wi中零向量的表法唯一,从而?Wi是直和. ? i?1i?1ss
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6.6 解 题 探 索 教学目的 通过教学，引导学生进行单元复习，提高其抽象数学的证题能力及自学能力． 教学重点 熟化本章教学重点：基、维数及直和． 教学难点 证题能力的提高． 教学内容 本节从三个侧面加深同学们对向量空间概念及其结构的理解，并探索解决向量空间问题的方法与技巧． 6.6.1 基与维数 关于有限维向量空间的基与维数，综合起来有以下基本结论． 设V是数域F上向量空间，?1，?，?n?V，则下列陈述彼此等价： 1){?1，?2，?，?n}是V的一个基； 2)?1，?2，?，?n线性无关，但?1，?，?n，?线性相关，??? V； 3)??? V都可经?1，?2，?，?n唯一地线性表示； 4)V=L(?1，?，?n)，且? 经?1，?，?n线性表示的表式唯一； 5)dimV=n，且?1，?，?n线性无关； 6)dimV=n，且V=L(?1，?，?n)； 7)V=L(?1)?L(?2)???L(?n)． 下面我们再来讨论基与维数的三个例子． 例1 任给正整数m(≥n)．证明，在Fn中存在m个向量，其中任取n个向量构成它的一个基． 证 取?1?(1,2,22,?,2n?1),?2?(1,22,(22)2,?,(22)n?1), ?,?m?(1, 2m,(2m)2,?,(2m)n?1)．设 12k1(2k1)2?(2k1)n?112k2(2k2)2?(2k2)n?1Dn?， ????12kn(2kn)2?(2kn)n?1?，?kn线性无关，因这里1≤k1
r??1???0，?，?，?)≠0，矛盾，故s≤r+1． ? =(0，例3 设f(x1，?，xn)是秩n的实二次型．证明：在Rn中有1(n?|s|)维 2?x1???子空间W1存在，使得?????W1，有f(x1，?，xn)=0，这里s是这个二次型 ?x??n?的符号差． 证 设f(X)=X?AX，则存在矩阵C，|C|≠0，使 ?Ip??，s?p?q, C?AC????Iq???222于是f (X)=? (Y)=y1???y2p?yp?1??yp?q，这里X=CY．不妨设p≥q，取 ?1????0?????0?Y1????1??0??????0?????0????1???0??????p????，Y??0?2?0???1???q????0??????0????0?????????????1??p?p??????????，??，Y??0??， q?0?????????????q????q??0????1??????则? (Yi)=0，i=1,2,?,q．又Y1，?，Yq线性无关，令W0=L(Y1，?，Yq)，则它 1(n－|s|)维子空间，且?Y∈W0，有? (Y)=0．因为X=CY，取X1=CY1，? 21Xq=CYq．让W1= L(X1，?，Xq)，则dimW1=q=(n－|s |)，且?X∈W1，有f (X)= ? 2是q=(Y)=0． ? 6.6.2 子空间的运算 直和 例4 若n维向量空间V的两个子空间的和的维数减1等于它们交的维数，则它们的和等于其中的一个子空间，它们的交等于另一个子空间． 证 设这两个子空间为W1，W2．则 dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2) ① 下面分两种情况讨论： 1)当dimW1=dim( W1∩W2)时，则由①易见结论成立． 2)当dimW1>dim(W1∩W2)时，由假设则 dim(W1∩W2)+1 =dim (W1+ W2)＞dimW2≥dim(W1∩W2)． 令dim(W1∩W2)=m，由上式知 m+1>dimW2≥m ② 高等代数 第30页
但维数是整数，从而由②式，只能有 dimW2=m=dim(W1∩W2)． ③ 所以，W2= W1∩W2．于是，由①知道W1=W1+W2． ? 例5 证明，有限维向量空间的任意真子空间均可表示为若干个n－1维子空间的交． 证 设V为n维空间，W为其任一真子空间． 若dimW=n－1，则结论正确．设dimW≤n－2．令?1,?,?r为W的基，将它扩充成V的基：?1,?2?,?r，?r?1,?,?n．取 W1=L(?1,?2?,?r，?r?1,?,?n?1),W2=L(?1,?2?,?r，?r?1??n,?,?n?1)， ?，?n?1??n)． ?????，Wn-r=L(?1,?2?,?r，?r?1，n?r显然W??Wi，又????Wi有 i?1i?1n?r??k1?1?k2?2???kr?1?r?1???kn?1?n?1 ?t1?1?t2?2???tr?r?tr?1(?r?1??n)???tn?1?n?1 n?r故tr+1=0，所以kr+1=0．同样得到kr+2=?=kn－1=0，所以α∈W，因而W= ?Wi．?i?1例6 设M∈Mn(F)， f(x)，g(x)∈F[x]，且(f(x)，g(x))=1，A=f (M)，B=g (M)，证明，N(AB)=N(A)?N(B)． 证 先证N(AB)=N(A)+N(B)． 由于f(M)g(M)=g(M)f(M)，即AB=BA，从而有AX=0?BAX=0?ABX=0，所以N(A)? N(AB)．同理有N(B)? N(AB)．故N(A)+N(B) ? N(AB)． 又由(f (x)，g(x))=1知道存在多项式u(x)，v(x)，使u (x)f (x)+v (x)g (x)=1，于是 u(M)f (M) +v(M)g(M)=In． ④ 因此，?α∈N(AB)，α=u(M)f (M)α+v (M)g (M)α=α1+α2，其中α2=u (M) f (M)α,α1=v (M)g (M)α．又ABα=0，即f(M)g(M)α=0．于是g(M)α2=u(M) f(M)g(M)α=0．所以Bα2=0，α2∈N(B)．同理有α1∈N(A)．于是N(AB) ? N(A)+N(B)．故N(AB)= N(A)+N(B)． 又设?α∈N(A)∩N(B)，则Aα=0，Bα=0．所以f (M)α=0，g (M)α=0，代入④式得，α=u(M) f (M)α+v (M)g (M)α=0．从而N(A)∩N(B)=0，故N(AB)= N(A) ?N(B)． ? 例7 设V是n维实(复)向量空间，L1，?，Ls 是V的子空间，且适合Li?Li+1，i=1，2?s，Ls+1=V．证明，存在s个子空间K1，?，Ks，使得 1) Li+1=Li?Ki，i=1，2?s ； 2)V=L1?K1???Ks． 证 因为L1?L2，所以存在线性无关向量组α11，?,α1t1，使α11，?，α1t1?L1，且L2=L1?L(α11，?，α1t1)．令K1=L(α11，?，α1t1)，则L2=L1?K1． 同样作出K2，有L3=L2?K2，?，Ls+1=Ls?Ks．所以V=L1?K1???Ks．? 6.6.3 子空间复盖 例8 设W1，W2是V的真子空间，则存在α?V，使α?W1，α?W2． 证 因W1是真子空间，所以存在β1?W1，若β1?W2，则结论得证．若β1∈W2．同样因W2为真子空间，则存在β2?W2，若β2?W1，则命题得证．若β2∈W1，则易见β1+β2?W1，β1+β