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证 必要性 若L(α1，α2，?，αs)=L(?1,?2,?，?m)，则易见这两个向量组等价． 充分性 若α1，α2，?，αs与?1,?2,?，?m等价，则由线性表出的传递性，L(α1,α2,?，αs)中任一向量可由?1,?2,?,?m线性表出，因此L(α1,α2,?，α同理，有L(?1,?2,?，?m)?L(α1，α2,?，αs)．所以L(α1，?，s)?L(?1,?2,?，?m)．αs)= L(?1,?，?m)． ? 教学小结： 课外作业： P279：1.1)、2)、4)；3；4；6．
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6.4 基变换与坐标变换 教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的几何意义，掌握坐标变换公式． 教学重点 6.4节的定理6.4.1、定理6.4.2． 教学难点 向量组之间的矩阵连接之其活用． 教学内容 ?，?n，则V中每个向量α在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基?1，在这个基下有唯一确定的坐标．对于不同的基，同一个向量α的坐标一般是不同的．本节讨论基的变动，以及同一个向量的坐标是如何随其变化的． 6.4.1 基变换 ?，?n是V的两个基，则 ?，?n与?1，设?1，??1?a11?1?a21?2???an1?n???2?a12?1?a22?2???an2?n． (1) ????????????n?a1n?1?a2n?2???ann?n将(1)用矩阵表示，记作 ??1，?2，?，?n????1，?2，?，?n?A，其中A=(aij)nn∈Mn(F)．(2) 请注意，(2)的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素?1，?2，?，?n构成有序元素组(?1，?2，?，?n)，不是以数域F的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样的运算性质．对于具体的n维列(行)?，?n都是n元有序数组，因此当?1，?，?n为列向量时，有向量空间Fn，由于?1，?，?n)表示以?1，?2，?，?n为列的矩阵，序元数组(?1，?2，这时(2)正好是第一章讲的矩阵乘法形式． ?，?n)是V的两个向量组，A=(aij)nn，B=(bij)∈?，?n)与(?1，?2，设(?1，?2，Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则： ?，?n)A)B=(?1，?2，?，?n)(AB)， ((?1，?2，??n)A+(?1，?2，??n)B=(?1，?2，??n)(A+B)， (?1，?2，??n)A+(?1，?2，?，?n??n)A. ?，?n)A= (?1??1,?2??2，(?1，?2，因为上述矩阵形式写法的定义与矩阵乘法的定义在形式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一遍，便得出上述三个规则．因此，这里将其证明略述． ??n到基?1，?2，?，?n的过渡矩阵． 公式(2)中出现的矩阵A叫做由基?1，?2，高等代数 第18页
?，??n到基?1，?2，命题6.4.1 在n维向量空间V中，基?1，?2， ?n的过渡矩阵是可逆矩阵． ??n)A,要证A可逆．?，?n)=(?1，?2，证 设(?1，?2，用反证法，假如A不可逆，则|A|=0．于是齐次线性方程组AX=0有非零解, ?c1???取一个非零解Y=???，有 ?c??n??c1?c1?1?c2?2???cn?n???1，?2，?，?n???? ?c??n??，?AY???1，?2，?，?n??AY??0． =?1，?2，?，?n线性相关，矛盾．因此A可逆． ?这表明?1，?2， ?，?n是V的一个基，?1，?，?n?V，且 命题6.4.2 设?1，?2，??n)A． ?，?n)=(?1，?2，(?1，?2，?，?n是V的一个基． 若A可逆，则?1，?2，?，?n线性无关即可．假设 证 只要证?1，?2，k1?1?k2?2???kn?n?? 则 ??k1???k1???????????1，?2，?，?n???????1，a2，?，?n??A????． ?k???k???n???n???????k1?????n是V的一个基，所以从上式得A????0．于是， 因为?1，?2，?k??n??，?n线性无关．?由A可逆知道k1?k2???kn?0．故?1， 由命题6.4.1、6.4.2立得 ?，?n是数域F上向量空间V的一个基，且 定理6.4.1 设?1，?2，??n)A， (3) ?，?n)=(?1，?2，(?1，?2，?，?n是V的一个基的充分且必要条件为A是可逆其中A=(aij)nn∈Mn(F)，则?1，?2，矩阵． ? 这一个定理所刻画的也正是可逆矩阵的几何意义． 6.4.2 坐标变换公式 ??n}下的坐标是(x1，x2，?，xn)，在基{?1，?2，?，?n}设α∈V在基{?1，?2，?，yn)，则 下的坐标是(y1，y2，高等代数 第19页
???i?1n?x1??x?xi?i?(?1，?2，?，?n)?2?， (4) ???x???n??y1??y?=?yi?i?(?1，?2，?，?n)?2?． (5) ???i?1?y??n?n把(3)代入(5)，得 ??y1???y1??????y???((?1，?2，?，?n))A)?2??(?1，?2，?，?n)?A?y2??．(6) ???????y??????y??n???n??因此，再注意到(4)，则由坐标的唯一性得到 ?x1??y1??x????2?=A?y2? ． (7) ???????x??y??n??n?因此有 ??n}定理6.4.2 设V是数域F上n(＞0)维向量空间，A是由V的基{?1，?2，??n}下的坐标?，?n}的过渡矩阵，则V中向量α在基{?1，?2，到基{?1，?2，?，xn)与在{?1，?2，?，?n}下的坐标(y1，y2，?，yn)由等式(7)联系(x1，x2，着． ? ?分例1 取V2的两个彼此正交的单位向量?1，?2，作成V2的一个基．令?1?,?2?，ε2?也是V2的一个基，且有 别是由?1和?2旋转角? 所得的向量(图6?1)，则ε1? ? ?1??ε1cos??ε2sin??ε1， ??ε??εsin??εcos?12?2? ?1 图6?1 ?，?2?}的过渡矩阵是 所以{?1，?2}到{?1?cos??sin???sin?cos??． ???，?2?}下的坐标是(x1?，x2?)，设V2的一个向量α在{?1，?2}下的坐标是(x1，x2)，在{?1则由定理6.4.2得 高等代数 第20页
?cos??x2?sin?，?x1?x1 ?x?x?sin??x?cos?．12?2这正是平面解析几何里转轴的坐标变换公式． 例2 在F3中，设 ，0，?1)，?2?(2，1，1)，?3?(1，1，1), ?1?(11，1)，?2?(?1，1，0)，?3?(1，2，1)， ?1?(0，5，3)， ??(2，求基?1，?2，?3到基?1，?2，?3的过渡矩阵T，并且求α分别在这两个基下的坐标． 解 设??为α的转置．因为 ??k2?2??k3?3? ??k1?1?k2?2?k3?3????k1?1所以 ??1，?2，?3????1，?2，?3?T?，?2?，?3?????1?，?2?，?3??T． ???1?，?2?，?3?)，B=(?1?，?2?，?3?),则从(?1?，?2?，?3?) =(?1?，?2?，?3?)T得出，于是，设A=(?1B=AT．为了求T，需要解这个矩阵方程，可按第一章的方法求解．因为 ????????1001210?11?011?????行变换??011112??????010?1?3?2?， ????001??111101?244???所以，过渡矩阵 11??0??T???1?3?2?． ?244???设α在基?1，?2，?3下的坐标为(y1，y2，y3)，则 ?y1??2????? B?y2?=?5?． ?y??3??3????y1??1?????解这个线性方程组得?y2?=?0?．因此，由坐标变换公式得到α在基?1，?2，?3?y??2??3???下的坐标为(2,－5,10)． 教学小结： 课外作业： P284~285：2；4；5.1)；6．