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6.2 向量的线性相关性 教学目的 通过2学时的导学，使学生理解、掌握向量线性相关性的基本概念与替换定理，提高其数学学习的自学能力． 教学重点 线性相关、无关及极大线性无关组的概念． 教学难点 替换定理及部分线性无关性习题的证明． 教学内容 在向量空间中，向量的线性相关性极为重要，本节对之作些阐述，请同学们结合第三章§2自学． 以下谈到向量空间V，都指V是某一给定数域F上的向量空间． 6.2.1 基本概念 定义1 设α1，α2，?，αr ∈V，k1，k2，?，kr∈F．我们把β=k1α1+k2α2+?+krαr叫做向量α1，α2，?，αr 的一个线性组合，也称β可以由α1，α2，?，αr 线性表示． 同学们可以举出Fn中线性表示的许多例子．显然，在V中，零向量可以由任意一组向量α1，α2，?，αr 线性表示．考虑这样表示的分类，我们引入 定义2 设α1，α2，?，αt∈V．若存在F上的不全为零的数k1，k2，?，kt，使得 k1?1?k2?2???kt?t??， (1) 则称向量组{α1，α2，?，αt}线性相关；否则，即等式(1)仅当k1=k2=?=kt=0时才成立，则称向量组{α1，α2，?，αt}线性无关． 根据这个定义，若向量α1，α2，?，αt 中有一个是零向量，则{α1，α2，?，αt}线性相关． 单独一个非零向量α线性无关，因为由kα=? 而α≠?，必有k =0． Fn中向量线性相关性的例子，请同学们复习第三章§2及其习题． 例5 在向量空间F[x]中，对于任意非负整数n，向量组 1，x，?，xn 线性无关，因为由a0+a1x+?+anxn=0必然有a0=a1=?=an=0． 由定义容易直接推导出以下一些简单事实． 命题6.2.1 向量组{α1，α2，?，αt }中每一个向量αi都可以由这一组向量线性表示． ? 命题6.2.2 若向量组{α1，α2，?，αt }线性无关，则它的任意一个非空部分组也线性无关．其等价的提法是：若向量组{α1,α2,?,αt}有一部分向量组线性相关，则整个向量组{α1，α2，?，αt}也线性相关． ? 命题6.2.3 若向量?可以由β1，β2，?，βt 线性表示，而每一个βi又都可以高等代数 第7页
由α1，α2，?，αs线性表示，则? 可以由α1，α2，?，αs线性表示． 证 由???bi?i和?i??aij?j,i?1,?,t，得 i?1j?1ts?t? ???bi?aij?j????biaij??j． ?i?1j?1j?1?i?1?命题6.2.4 设向量组{α1，α2，?，αr }线性无关，而{α1，α2，?，αr，β}线性相关．则β一定可由α1，α2，?，αr线性表示． 证 因为α1，α2，?，αr，β线性相关，所以存在不全为零的数k1，k2，?，kr，k，使得 k1α1+k2α2+?+krαr +kβ=θ． tss假如k=0，则上面的等式变成 k1α1+k2α2+?+krαr =θ， 并且k1，k2，?，kr 中至少有一个不等于零，与α1，α2，?，αr线性无关的假设矛盾．因此k≠0，从而 ???k1kk ?1?2?2???r?r． ?kkk注 进而可证上面命题6.2.4中的?可唯一地由α1，α2，?，αr线性表示． 下面的定理说明线性相关与线性组合这两个概念之间的密切关系． 定理6.2.1 向量α1，α2，?，αr (r≥2)线性相关，必要且只要其中一个向量是其余向量的线性组合． 证 设α1，α2，?，αr线性相关，则存在不全为0的k1，k2，?，kr∈F，使得 k1α1+k2α2+?+krαr =θ， 不妨设kr≠0，则 ?r??k1kk?1?2a2???r?1?r?1． krkrkr因此，αr 可由α1，α2，?，αr?1线性表示． 反过来，设α1，α2，?，αr中某一向量，例如αr，是其余向量的线性组合： αr =k1α1+k2α2 +?+kr ?1αr?1， 则 k1α1+k2α2+?+kr?1αr?1+(－1)αr =θ． 因为αr 的系数不等于零，所以α1，α2，?，αr线性相关． ?
定义3 设{α1，α2，?，αr}和{β1，β2，?，βs }是向量空间V的两个向量组．若每一个αi可由β1，β2，?，βs线性表示，而每一个βj也可由α1，α2，?，αr 线性表示，则称这两个向量组等价． 例5 向量组 α1=(1,2,3), α2=(1,0,2) 高等代数 第8页
与向量组 β1=(3,4,8),β2=(2,2,5),β3=(0,2,1) 等价．其解法已在第三章阐述，请同学们自己思考完成． 由命题6.2.3，向量组等价的概念显然具有传递性：若{α1，α2，?，αr }与{β1，β2，?，βs }等价，而后者又与{γ1，γ2，?，γt } 等价，则{α1，α2，?，αr }与{γ1，γ2，?，γt }等价． 6.2.2 替换定理 定理6.2.2(替换定理) 设向量组 {α1，α2，?，αr } (2) 线性无关，并且每一个αi都可以由向量组 {β1，β2，?，βs } (3) 线性表示,则r ≤s；并且必要时对(3)中向量重新编号，使得用α1,α2,?，αr替换β1，β2，?，βr后，所得的向量组 {α1，α2，?，αr，β与(3)等价． r+1，?，βs } (4) 证 对(2)中向量个数r用数学归纳法证明． 当r=1时，{α1}线性无关，所以α1≠?，且1≤s ，α1可以由(3)线性表示： α1=b1β1+?+b sβs． 因为α1≠θ，所以至少有一bi≠0，不妨设b1≠0，于是 bb1?1??1?2?2???s?s． b1b1b1α1可以由{β1，β2，?，βr }线性表示，β1可以由{α1，β2，?，βs }线性表示．所以易见向量组{α1，β2，?，βs }与(3)等价． 假设r＞1，并且定理对于(2)中含有r－1个向量的情形已经成立，那么对于(2)中含有r个向量的情形．由于α1，α2，?，αr 线性无关，所以由命题6.2.2，α1，α2，?，αr?1也线性无关．于是由归纳假设，r－1≤s，并且可以认为，用α1，α2，?，αr?1替换(3)中前r－1个向量，得到一个与(3)等价的向量组 {α1，α2，?，αr?1，βr，βr+1，?，βs}． (5) 由于αr 可以由(3)线性表示，所以由命题6.2.3，它也可以由与(3)等价的向量组(5)线性表示．因此有 ?r??ki?i??bj?j． (6) i?1j?rr?1s若所有的bj 都等于零，则(6)式变为?r?r?1i?1?ki?i，因而αr可以由 α1，α2，?，αr-1 线性表示．由定理6.2.1，这与向量组(2)线性无关的假设矛盾．因高等代数 第9页
此至少有一个bj ≠0．这就证明了r－1 据此，称向量组{α1，α2，?，αm }的一个极大线性无关组所含向量的个数为该向量组的秩，记作rank{α1，α2，?，αm }． 6.2.3 C(n?1)[a,b]中向量的线性相关性 设f1(x)，f2(x)，?，fn(x)∈C(n-1)[a，b]，下面n阶行列式 f1(x)f1?(x)?f1?n?1?(x)f2(x)f2?(x)?f2?n?1?(x)????fn(x)fn?(x) ?fn?n?1?(x)叫做函数f1(x)，f2(x)，?，fn(x)的Wronsky(朗斯基)行列式，记作W(x)，或者W( f1，f2，?，fn)． 命题6.2.5 设f1(x)，f2(x)，?，fn(x)∈C(n?1)[a，b]．若Wronsky行列式W(x)在某一点x0∈[a，b]处的函数值W(x0)≠0，则函数组f1(x)，f2(x)，?，fn(x)线性无关． 证 设 k1f1(x)?k2f2(x)???knfn(x)?0 (7) 这里右端的0是零函数，因此(7)式对?x∈[a，b]都成立．对(7)两边分别求1阶，2 阶，?，n－1阶导数，得到 ?k1f1??x??k2f2??x???knfn??x??0?． (8) ???????????n?1??n?1??n?1???k1f1?x??k2f2?x????knfn?x??0在(7)、(8)中，考虑各个函数在x0处的函数值，则得 ?k1f1?x0??k2f2?x0????knfn?x0??0??k1f1??x0??k2f2??x0????knfn??x0??0． (9) ?????????????n?1??n?1??n?1???k1f1?x0??k2fn?x0????knfn?x2??0已知W(x0)≠0，因此以W(x0)所相应的矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解．从而由(9)得到k1=k2=?=kn=0．故f1(x)，f2(x)，?，fn(x)线性无关． ? 给了实数域上的向量空间R[a,b]中的函数组f1(x)，?，fn(x)，若它们是n－1次可微的，则可以先观察它们的Wronsky行列式W(x)是否在某点x0∈[a，b]处W(x0)≠0．若是，则f1(x)，?，fn(x)线性无关．若?x∈[a，b]，都有W(x)=0，则需要用定义2去判断它们是否线性无关(见下面的例5)．此外，若W(x)不易计算，则可以用定义2去判断． 例5 判断实数域上的向量空间RR中的函excosx,sinx是否线性无关． excosxsinxW?x??x． xecosx?esinxcosx解 excosx,sinx的Wronsky行列式是