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6.5 子空间的运算 教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用． 教学重点 维数定理（定理6.5.1）及子空间直和的刻画． 教学难点 上述教学重点的证明． 教学内容 为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和． 6.5.1 交与和 命题6.5.1 设W1，W2都是数域F上向量空间V的子空间，则W1∩W2也是V的子空间，叫做W1与W2的交． 证 因为?∈W1∩W2，所以W1∩W2≠?．设α，β∈W1∩W2，则α，β∈Wi，i=1，2．因为Wi是子空间，所以α+β∈W i；kα∈Wi，?k∈F；i=1,2．于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，?k∈F．因此，W1∩W2是V的子空间． ? 由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则： 1)交换律 W1∩W2= W2∩W1； 2)结合律 (W1∩W2)∩W3= W1∩(W2∩W3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交： W1?W2???Wt??Wi， i?1t且由归纳法易见，?Wi也是V的子空间． i?1t???Wi,?i?I?也是V的子空间． 则?Wi??i?I注 类似命题6.5.1的证明可得，设I是任一指标集，若?i∈I，Wi是V的子空间，向量空间V的两个子空间W1与W2的并集一般不是V的子空间．例如，在V3中，取W1，W2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V3的子空间．W1∪W2对加法一般不封闭，因此W1∪W2不是V3的子空间．若我们想构造一个包含W1∪W2的子空间，则这个子空间应当包含W1中的任一向量α1与W2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明 命题6.5.2 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，则集合 {?1??2?1?W1,?2?W2} (1) 是V的一个子空间，叫做W1和W2的和，记作W1+W2． 证 把集合(1)记作W．显然?∈W(因为? =? +? )．在W中任取两个向量α，β，高等代数 第22页
可设 ???1??2， ???1??2， 其中α1，β1∈W1，α2，β2∈W2，则 ????(?1??1)?(?2??2)． 由于W1，W2是V的子空间，所以α1+β1∈W1，α2+β2∈W2，从而α+β∈W． 类似可证任取k∈F，???1??2?W，?1?W1，?2?W2，则k??W．因此W是V的一个子空间． ? 对于W1中任一向量α1，有α1=α1+θ．因此W1?W1+W2．同理，W2?W1+W2．从而W1∪W2?W1+W2．所以W1+W2是包含W1∪W2的子空间． 设U是V的子空间，且W1∪W2?U，则对于任意αi∈Wi，i=1，2，有αi∈U．从而α1+α2∈U．由此看出W1+W2?U．这表明W1+W2是V中含W1∪W2的最小的子空间． 由命题6.5.2知道 W1+W2={?1??2?1?V1,?2?V2}． (2) 从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则： 1)交换律 W1+W2= W2+W1 2)结合律 (W1+W2)+W3=W1+(W2+W3)． 由结合律，我们可以定义t(t≥2)个子空间的和： W1?W2???Wt??Wi， ti?1用归纳法易证，?Wi仍是V的子空间，并且 i?1tW1?W2???Wt={?1??2????t?i?Wi，i?1,?,t}． (3) 命题6.5.3 设?1,?,?r与?1,?,?s是数域F上向量空间V的两个向量组，则 L??1,?,?r??L??1,?,?t??L??1,?,?r，?1，??t?． (4) 证 从(2)式得出 L??1，??r??L??1,?,?t?=?k1?1???kr?r???l1?1???lr?t?ki,lj?F ??=L??1,?,?r,?1,?,?t?． ? 在V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，它们相交于一条直线L．则W1，W2，L都是V3的子空间，并且W1∩W2=L．由于V3中每个向量α可以表示成W1中一个向量与W2中一个向量的和(注意表法不唯一)，所以W1+W2=V3．由于dimW1=dimW2=2，dimL=1,dimV3=3，因此在本例中，有 dimW1?dimW2?dim?W1?W2??dim?W1?W2?． 这个公式对于任一向量空间的任意两个有限维子空间都成立，即有 定理6.5.1(维数公式) 若W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，高等代数 第23页
则W1∩W2与W1+W2也都是有限维的，并且 dimW1?dimW2?dim?W1?W2??dim?W1?W2?． (5) 证 因为W1是有限维的，而W1∩W2是W1的子空间，所以W1∩W2也是有限维的．设W1,W2的维数分别是n1，n2，W1∩W2的维数是m．取W1∩W2的一个基?1,?,?m，并将它分别扩充成W1的一个基?1,?,?m，?1,?，?n1?m，扩充成W2的一个基?1,?,?m，?1,?，?n2?m．据(4)式，我们有 W1+W2=L(?1,?,?m，?1,?，?n1?m)+L(?1,?,?m，?1,?，?n2?m) =L(?1,?,?m，?1,?，?n1?m，?1,?，?n2?m) (6) 于是W1+W2是有限维的．若能证明?1,?,?m，?1,?，?n1?m，?1,?,?n2?m线性无关，则它就是W1+W2的一个基，从而有dim(W1+W2) =m+(n1－m)+(n2－m)= n1+ n2－m=dim W1+dimW2－dim(W1∩W2)，即维数公式成立．于是，设 k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m?q1?1???qn2?m?n2?m??， 则 ??k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m ??q1?1???qn2?m?n2?m． (7) 由(7)的第一个等式知道α∈W1，由第二个等式知道α∈W2．于是α∈W1∩W2．因此α可由?1,?,?m线性表出，令 ??l1?1???lm?m． (8) 由(7)的第二式以及(8)式得 l1?1???lm?m?q1?1???qn2?m?n2?m??． 因为?1,?,?m，?1,??n2?m线性无关，所以 l1???lm?q1???qn2?m?0． 从而α=θ．再由(7)的第一式便得到 k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m??． 因为?1,?,?m，?1,?，?n1?m线性无关，所以 k1???km?p1???pn1?m?0， 这证明了?1,?,?m，?1,?，?n1?m，?1,?,?n2?m线性无关． ? 推论6.5.1 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则 dim(W1+W2)= dimW1+dimW2=?W1∩W2=0， 这里0表示V的零子空间． 下面举一个例子说明在Fn中如何具体求两个子空间的和与交的基及维数． 例1 设V=F4，W1=L(α1，α2，α3)，W2=L(β1，β2)，其中 α1=(1，2，1，0)，α2=(?1，1，1，1)，α3=(0，3，2，1)， β1=(2，?1，0，1)，β2=(1，?1，3，7)． 分别求W1与W2的和与交的基及维数． 解 因为 W1+W2= L(α1,α2,α3)+ L(β1,β2)= L(α1,α2,α3,β1,β2)， 高等代数 第24页
所以向量组α1,α2,α3,β1,β2的一个极大线性无关组所含向量的个数是W1+W2的维数．按照第三章的方法，把α1,α2,α3,β1,β2写成列向量，构成矩阵A，对A作一系列初等行变换，化成阶梯形矩阵： ?1?1?21A???11?01?021??1??3?1?1??0?203??0?117???0010011000?1??04? (9) 13?00??由此得出α1，α2，β1是W1+W2的一个基，故dim(W1+W2)=3．同时也知道，β2可经α1，α2，β1线性表示，其系数应当是线性方程组 x1α1+x2α2+x3β1=β2 的解，且从上述A及其化简得到的阶梯形矩阵的第1，2，4，5列可以看出，此方程组的解是(－1，4，3)．因而β2=－α1+4α2+3β1，故3β1－β2∈W1∩W2．又由维数公式易得 dim(W1∩W2)=2+2－3=1． 所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W1∩W2的一个基． 6.5.2 直和 考察推论6.5.1成立的情形，下面引入 定义1 设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间．若和W1+ W2中每个向量α都能唯一地表示为 α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2， (10) 则称W1+W2为直和，记作W1?W2． 定理6.5.2 设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间，则下列陈述彼此等价： 1)和W1+W2是直和； 2)和W1+W2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W1，α2∈W2，则α1=α2＝θ； 3)W1∩W2=0． 证 1) ?2) 显然． 2) ?3) 设?α∈W1∩W2，则零向量可表为 ? =α+(－α)，α∈W1，－α∈W2． 故由2)得α=?．因此W1∩W2=0． 3) ?1) 任取α∈W1+W2，假设α有两种表法： α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2 α=β1+β2，β1∈W1，β2∈W2 则α1－β1=β2－α2∈W1∩W2．因为W1∩W2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W1+W2是直和． ? 定理6.5.3 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则下列陈高等代数 第25页
述彼此等价： 1)和W1+W2是直和； 2)dim(W1+W2)=dimW1+dimW2； 3)W1的一个基与W2的一个基合并起来是W1+W2的一个基． 证 由定理6.5.2和推论6.5.1立即得到1)? 2)． 3)?2)是显然的．现在证2)?3)：设?1,?,?s是W1的一个基，?1,?,?r是W2的一个基，则 W1+W2=L(?1,?,?s)+L(?1,?,?r)=L(?1,?,?s,?1,?,?r) 因为dim(W1+W2)=dimW1+dimW2=s+r，所以向量组?1,?,?s，?1,?,?r的秩等于s+r，从而是线性无关的，因此它是W1+W2的一个基． ? 推论6.5.2 设V是数域F上的有限维向量空间，U是V的一个子空间，则存在V的一个子空间W，使得 V=U?W． 证 因为V是有限维的，所以子空间U是有限维的．若U=0，则W=V．若U≠0，取U的一个基?1,?,?s，把它扩充成V的一个基 ?1,?,?s,?s?1,?,?n． 令W=L(?s?1,?,an)，则 U+W=L(?1,?,?s)+L(?s?1,?,an)=L(?1,?,?s,?s?1,?,?n)=V 由于U的一个基与W的一个基合并起来是U+W的一个基，因此和U+W是直和．故V=U?W． ? 定义2 设V是数域F上的向量空间，U是V的一个子空间，若存在V的一个子空间W，使得V=U?W，则称W是U在V里的补空间．这时U也称为W在V里的补空间． 从推论6.5.2知道，若V是有限维的，则它的每一个子空间都有补空间．注意，一个子空间的补空间未必唯一．例如，在V3中，设W是过原点O的一个平面，则任意一条经过点O但不在W上的直线都是W的补空间． 显然，子空间U在V里的补空间的概念与子集U在V里的补集的概念是不同的概念，请不要混淆． 例2 设V=Mn(F)，其中F是数域．用W1表示F上所有n阶对称矩阵组成的子空间，用W2表示所有n阶反对称矩阵组成的子空间，证明V=W1?W2． 证 先证V=W1+W2．W1+W2?V是显然的．注意到?A∈V=Mn(F)，有 A?A?A?A?． A??22A?A?A?A?易验证?W1，?W2．因此A∈W1+W2．故V?W1+W2．因此V= W1+W2． 22又任取B∈W1∩W2，则B′=B，并且B′＝－B．于是B= －B，从而2B=0．故B=0．于是W1∩W2=0．所以V= W1?W2．?