探索、创新高考
胶州实验中学 刘红升
我来听数学的演唱会
在十九岁的高考第一次约会
我为了她彻夜不睡
三年的拼搏买了通知书一份 她唱得我心醉 她唱得我心碎 三年的光阴一次考试就要回 我记得月台汽笛声声在催 播数学的歌陪着人们流泪
嘿 陪人们流泪
我来听数学的演唱会 在二十三岁教学是风光明媚 学生背着我送语文玫瑰 我不听音乐夜夜做题不睡 她唱得我心醉 她唱得我心碎 学生对数学都像无所谓 和老师一起买醉黑板课本 唱数学的歌陪着试卷流泪
嘿 陪着流眼泪
她唱得我心醉 她唱得我心碎 在三十二岁真爱那么珍贵 年轻的学生求数学让一让位 让学生决定跟谁远走高飞
嘿 谁在远走高飞
她唱得我心醉 她唱得我心碎 我努力不让自己看来很累 岁月在听数学唱无怨无悔 在掌声里唱到自己流泪 嘿 唱到自己流泪
我来听数学演唱会
在三十岁后喜欢数学的老师很美
学生在问我为什么流泪 心爱的数学早已融入血液 我静静听着数学的演唱会
溜溜的她
胶州实验中学 刘红升 2012.2.22
演唱：凤飞飞
那个溜溜的她你怎么不说话，乌黑的眼睛溜溜地转，沉默就是回答 那个溜溜的她请你呀说说话，你轻轻溜溜地唱一句，歌声出神入化
x212?y2?1，圆M:(x?a)2?y2?1,圆N:(x?a)2?y2?，?1?a?1，抛物线D:x?y。 椭圆C:42（1）若A、B为抛物线D上异于原点O的两不同点，且OA?OB；E、F分别为为圆M、圆N上不同点，且
ME?MF， M为（a,0)点。又知：OA?OB?ME?MF。求直线AB的方程；
（2）若A、B为抛物线D上异于原点O的两不同点，且kOAkOB??点，且kOEkOF??1；E、F分别为为椭圆C上不同21；又知：OA?OB?2OE?2OF。求直线AB的方程； 2（3）您还有什麽灵感？
2解析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3)F(x4,y4)， ?OA?OB?ME?MF,?(OA?OB)2?（ME?MF）?OA2?OB2?2OA?OB?ME2?MF2?2ME?MF,?AB?25 4??x1x2?y1y2?0????5 221?k(x?x)?4xx?1212??4??设直线AB:y?kx?b(斜率不存在不合题意），与y?x2联立得：x2?kx?b?0x1?x2?k,x1x2??b,??k2?4b2?x1x2?y1y2?0得：x1x2?（x1x2）?0，b?1或b?0(舍），满足??0.
1?k2(x1?x2)2?4x1x2?55得：k2??1,以下略！42（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3)F(x4,y4)，?OA?OB?2OE?2OF,
设直线AB:y?kx?b(斜率不存在不合题意），与y?x2联立得：x2?kx?b?0x1?x2?k,x1x2??b,??k?4bx1?x2?2(x3?x4)，y1?y2?2(y1?y2)，2y1?x12，y2?x2，22x3?2y3?2，22x4?2y4?22
11kOAkOB??,得：x1x2?2y1y2?0；kOEkOF??,得：x3x4?2y3y4?0；22?(x1?x2)2?2(y1?y2)2?4(x3?x4)2?8(y1?y2)2222222?x12?x2?2y12?2y2?2x1x2?4y1y2?4(x3?x4?2y3?2y4?2x3x4?4y3y4)22x12?x2?2y12?2y2?16?y1?y2?2(y1?y2)2?4y1y2?16?x1x2?2y1y2?0?5?13712???解得：k?,b??;以下略。242?y1?y2?2(y1?y2)?4y1y2?16
追梦人
追梦人1
x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.如果离心率e?,
2abb2?1，过F2的直线L与椭圆C交于M、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：2ON?OM?7OQ，求直线L的方程。
c2b221x22?y2?1 解: e?2?1?2?1?2?,解得a?2，椭圆C的方程为
22aaa2设M(x1,y1),N(x2,y2)，由2ON?OM?7OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：
2x2?x1?7x,(1)22（2x2?x1）（2y2?y1）将（1）、（2）代入（3）得：?2?22y2?y1?7y,(2)77224x2?8y2?x12?2y12?4(x1x2?2y1y2)?14?0(*) x2?2y2?2,(3) 整理得：x12?2y12?2,(4)22x2?2y2?2,(5)再将（4）、（5）代入(*)得：x1x2?2y1y2??1若L的斜率不存在：则L方程为x?1,M(1,22)、M(1,-)，x1x2?2y1y2?0??1，不合题意；
22x2?y2?1联立得： 若直线L的斜率存在：则直线方程为y?k(x?1)与椭圆C 2(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0,由于直线L过椭圆内的右焦点，故??0必成立；4k22k2?2?x1?x2?，x1x2?,221?2k1?2k-k2y1y2?k(x1?1)?k(x2?1)?k(x1x2?(x1?x2)?1)?1?2k2-22?x1x2?2y1y2???1，k??21?2k22
?直线L的方程为：y??2（x?1)2灵感来自“2011年青岛一模理科22题”此题充分体现了方程思想，同时将方程思想的两种基本方式（韦达定理、方程直接运算）交汇。以此题怀念“追梦人”凤飞飞等。
追梦人2
x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.如果离心率e?,
2abb2?1，直线L与椭圆C交于M、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：2ON?OM?5OQ。
222（1）证明：x1（此问与2011年山东理科22题惊人相同！） ?x2与y12?y2均为定值；（2）证明：S?OMN?2；（灵感来自将2011年山东理科22题条件与结论交换！） 2c2b221x22?y2?1 解: e?2?1?2?1?2?,解得a?2，椭圆C的方程为
22aaa2设M(x1,y1),N(x2,y2)，由2ON?OM?5OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：
2x2?x1?5x,(1)22（2x2?x1）（2y2?y1）将（1）、（2）代入（3）得：?2?22y2?y1?5y,(2)55224x2?8y2?x12?2y12?4(x1x2?2y1y2)?10?0(*) x2?2y2?2,(3) 整理得：x12?2y12?2,(4)22x2?2y2?2,(5)再将（4）、（5）代入(*)得：x1x2?2y1y2?022若L的斜率不存在：x1?x2,y1??y2,x1x2?2y1y2?x1?2y12?0,又x12?2y12?2，x12?x2?1,
此时y1?y2?22122,?x12?x2?2,y12?y2?1, 2x2?y2?1联立得： 若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?4km2m2?2(1?2k)x?4kmx?2m?2?0, ??8(1?2k?m)；?x1?x2?，x1x2?,221?2k1?2km2-2k222y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?
1?2k24m2-2?4k222?x1x2?2y1y2??0，?2m?1?2k,(**)此时??0恒成立。21?2k22222（1）x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?2,易得：y1?y2?1。命题得证。 （2）若L的斜率不存在时，S?OMN?22222112MNd??2?1? 222若直线L的斜率存在：S?OMN?m11222果然成立！ MNd?1?k?(x1?x2)?4x1x2??22221?k感慨：也许2012年山东卷理科22题像此题一样命题，似乎更有利于考察学生的知识、方法、能力！