追梦人研究
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于
abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。
又会有多少“梦”可以追呢？ 命题探究： 数据收集：
x2y2椭圆C： 2?2?1，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?OM??ON?OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：
ab?x1??x2?x, (1)?y1??y2?y, (2)x2y2?a2b2x12y12?a2b222x2y2??1, (5)a2b222（?x1??x2）（?y1??y2）将（1）、（2）代入（3）得：??122ab222y12y2x1x2y1y22x12x2整理得：?(?)??(?)?2??(?2)?1?0(*) ?1, (3) 22222abababx1x2y1y222再将（4）、（5）代入(*)得：????2??(?2)?1?0(**)?1, (4)2abx1x2y1y2x12y12x12y12a222，x1?x2?, 若L的斜率不存在：x1?x2,y1??y2,2?2?2?2?0,又2?2?12abababb2, 此时y?y?22122x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：
ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?2,2222b?akb?ak2b2(m2-a2k2)
y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?b2?a2k2x1x2y1y22m2?b2?a2k2?2?2?，（***）abb2?a2k22第一种命题思路：让x1x2y1y222??0即????0是否可以展开呢？ 22ab其核心为2m2?b2?2a2k2的导出与运用！
命题方式1：
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于
abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。
22（类似于2011山东理科22题（1）问） 若?2??2?1，证明：x12?x2与y12?y2均为定值；解析：
x2y2 椭圆C： 2?2?1，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?OM??ON?OQ及M、N、Q在椭圆C上可得：
ab?x1??x2?x, (1)?y1??y2?y, (2)x2y2?22abx12y12?22ab22x2y2?2?1, (5)2ab22（?x1??x2）（?y1??y2）将（1）、（2）代入（3）得：??122ab222y12y2x1x2y1y22x12x2?1, (3) 整理得：?(2?2)??(2?2)?2??(2?2)?1?0(*)
abababx1x2y1y222再将（4）、（5）代入(*)得：????2??(?2)?1?0(**)?1, (4)2abx1x2y1y2x12y12x12y12a222，x1?x2?, 若L的斜率不存在：x1?x2,y1??y2,2?2?2?2?0,又2?2?12abababb222,?x12?x2?a2,y12?y2?b2, 此时y?y?22122x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：
ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?,22222b?akb?ak2222b(m-ak)
y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2?b2?a2k2x1x2y1y22m2?b2?a2k22222?2?2??0，?2m?b?ak,(**)此时??0恒成立。222abb?ak4a4k2m2a2(m2?b2)2a4k2?2m2a2?2m2?2a2b2x?x?(x1?x2)?2x1x2?2?22?2?(b?a2k2)2b?a2k2(b?a2k2)2b2?a2k2212222a4k2?2a2b22a2(a2k2?b2)2 ??a??a2?a2222222b?akb?ak2x12x12x12?x2222222易得：y1?y2?b(1?2)?b(1?2)?b(2?)?baaa2
命题得证，无运算技巧（但是，直接运用方程加、减、代入运算的方式师生都比较薄弱，2011青岛一模已体现）。
命题方式:2：
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于
abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。
若?2??2?1，证明：S?OMN?ab；(或证明S?OMN为定值）（类似于2011山东理科22题条件） 2x2y2解析：椭圆C： 2?2?1，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?OM??ON?OQ及M、N、Q在C上可得：
ab?x1??x2?x, (1)?y1??y2?y, (2)x2y2?22abx12y12?22ab22x2y2?2?1, (5)2ab22（?x1??x2）（?y1??y2）将（1）、（2）代入（3）得：??1a2b2222y12y2x1x2y1y22x12x2?1, (3) 整理得：?(2?2)??(2?2)?2??(2?2)?1?0(*)
abababx1x2y1y222再将（4）、（5）代入(*)得：????2??(?2)?1?0(**)?1, (4)2abx1x2y1y2x12y12x12y12a222，x1?x2?, 若L的斜率不存在时，x1?x2,y1??y2,2?2?2?2?0,又2?2?12ababab11abb222,?x12?x2?a2,y12?y2?b2,?S?OMN?MNd??2y1?x1?此时y?y?
22222122x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：
ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?,b?a2k2b2?a2k2 b2(m2-a2k2)y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?b2?a2k2x1x2y1y22m2?b2?a2k22222?2?2??0，?2m?b?ak,(**)此时??0恒成立。222abb?ak22S?OMNm1122?MNd?1?k?(x1?x2)?4x1x2?221?k2
14a4k2m2a2(m2?b2)12a4k2?2m24a2m2?4a2b22?(2?42)?m?(2?)?m2222222222222(b?ak)2(b?ak)b?akb?ak12a4k2?4a2b2?4a2m211ab242222222222?()?m?2ak?4ab?4am?2a(ak?2b?2m)?2222b2?a2k2果然成立！
命题方式3：
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于
ab22M、N两点， 若x12?x2 与y12?y2分别为定值a2、b2。证明：S?OMN?解析：
ab；(或证明S?OMN为定值）（类似于2011山东理科22题条件） 2a22b22,y1?y2?，若L的斜率不存在时，x1?x2,y1??y2,又x?x? 222122此时?S?OMN?11abMNd??2y1?x1? 222x2y2若直线L的斜率存在：则直线方程为y?kx?m与椭圆C 2?2?1联立得：
ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2(m2?b2)?0, ??4a2b2(b2?a2k2?m2)；?2a2kma2(m2?b2)?x1?x2?2，x1x2?222,22b?akb?akb2(m2-a2k2)y1y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?2b?a2k222
4a4k2m2a2(m2?b2)2x?x?(x1?x2)?2x1x2?2?2?a(经大量运算，无技巧）222222(b?ak)b?ak21222444?2m2(a2k2?b2)?b4?a4k4?0,?2m2?ak?b?b2?a2k2,(用到平方差）---此题突破！222ak?b
?2m2?b2?a2k2,(**)此时??0恒成立。S?OMN?m11MNd?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?221?k214a4k2m2a2(m2?b2)2?(2?4)?m2(b?a2k2)2b2?a2k212a4k2?2m24a2m2?4a2b22?(2?)?m2(b?a2k2)2b2?a2k212a4k2?4a2b2?4a2m22?()?m2b2?a2k21?2a4k2?4a2b2?4a2m221ab?2a2(a2k2?2b2?2m2)?22果然成立！
运算技巧！点评：此题运算量较命题方式1、2都要大，因为?2m?b?2ak的导出较复杂，但是无
2222命题方式4：
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于
abM、N两点，若S?OMN?ab； 222222 证明：x12?x2与y12?y2分别为定值a2、b（或证明:x12?x2与y12?y2分别为定值。（这就是2011山东理科22题（1）问） 解析：
当直线l的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，则x1?x2,y1??y2，
x12y1266??1，而S?OPQ?x1y1?由P?x1,y1?在椭圆上，则，则x1?,y1?1 3222于是x12?x22?3，y12?y22?2.
x2y2??1可得 当直线l的斜率存在，设直线l为y?kx?m，代入322x2?3(kx?m)2?6，即(2?3k2)x2?6km?3m2?6?0，??0，即3k2?2?m2
6km3m2?6x1?x2??,x1x2? 222?3k2?3kPQ?1?kx1?x2?1?k22263k2?2?m2(x1?x2)?4x1x2?1?k 22?3k22d?m1?k22，S?POQ11263k2?2?m26 ??d?PQ?m?2222?3k2则3k?2?2m，满足??0。。。注意：此处的前身是2(3k?2?2m)?0！
222大家想想：由9k4?4?4m2?6m2k2?8m2?12k2?0,到(3k2?2?2m2)2?0？！
6km23(m2?2)x?x2?(x1?x2)?2x1x2?(?)?2??3， 222?3k2?3k2122y12?y22?222(3?x12)?(3?x22)?4?(x12?x22)?2， 33322综上可知x12?x22?3，y1?y2?2.
此题尽管思路简单，但是运算量最大，在极为复杂的环境里倒用完全平方公式难度与技巧性太大！
对比总结4中命题方式：命题方式1突出了两种方程思想的运用（韦达定理、方程直接运算）及运算能力，较全面，不过分考运算，无运算技巧，有利于数学思想方法的考察，同时将向量载体合理交汇！；命题方式2与命题方式1类似；命题方式3，虽运算量大但是无特殊技巧；命题方式4运算量过大，思路简单，有技巧！