创新探究5（刘之言的“大眼睛”）：
2x2y2??1，圆C1：x2?y2?,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点。 已知椭圆C:321（1）若圆C2的切线与椭圆C相切，求此时切线斜率；（相交呢？相离呢？） （2）证明：圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B两不同点；
（3）圆C1的一条x轴平行的切线椭圆C相交于A、B两不同点，OA?OB？；圆C1的一条x轴垂直的切线椭圆C相交于A、B两不同点，OA?OB？你能够做出猜想吗?
（4）探究：圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B两不同点；OA?OB B F2 A O F1 B F2 A O F1 解：（1）（法一：形）圆C2:x?y?1,只有k?022
（法二：数）设圆C2:x2?y2?1的切线为：y?kx?b,则b2?1?k2,x2y?kx?b与?y2?1联立得：（1?2k2)x2?4kb?2b2?2?0,2??8(1?2k2?b2)?0,即1?2k2?(1?k2)?0,?k?0
(2)(法一：形）有题知圆C1在椭圆内部，因此切任何一条切线的切点均在椭圆内部，故必与椭圆相交。22（法二：数）设圆C1:x2?y2?的切线为：y?kx?b,则b2?（1?k2）,33x2 y?kx?b与?y2?1联立得：（1?2k2)x2?4kb?2b2?2?0,2214??8(1?2k2?b2)?0,即1?2k2?(1?k2)??k2?0333（3）不难发现，均有OA?OB!
?4kb2b2?2(4（下面证明)OA?OB）设A(x1,y1),B(x2,y2),x1?x2?,x1x2?.1?2k21?2k2b2?2k23b2?2(1?k2)22y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?kx1x2?kb(x1?x2)?b?,OA?OB? 221?2k1?2k2?b2?(1?k2),?OA?OB?0.(斜率不存在在（2）中已证明！3你能够继续探究吗？
创新猜想：
x2y2??1，是否存在圆心O为圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B两不同点且已知椭圆C:21OA?OB？
-------这不就是2009年山东高考数学理科22题（2）问！
高考原题：
x2y2?2?1(a,b?0)2M(2.2),N(6,1)，O为坐标原点 ab设椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且OA?OB？若存在，写出该圆的方程，关求
AB的取值范围；若不存在，说明理由。
（在此不展开证明了）
创新猜想：
2x2y222??1，已知椭圆C:圆C1：x?y?,我们已经证明出圆C1的任意一条切线均与椭圆C相交于A、B321两不同点，且OA?OB
（1）若圆C1：x?y?1呢？OA?OB?0 ？ （2）若圆C1：x?y?
探究解析：
22221呢？OA?OB?0 ？ 33b2?2(1?k2)由上一题知：OA?OB?，1?2k23b2?2(1?k2)1?k2若x?y?1,得b?(1?k),?OA?OB???01?2k21?2k2斜率不存在时也成立！2222
13b2?2(1?k2)1?k222若x?y?,得3b?(1?k),?OA?OB??-?031?2k21?2k2斜率不存在时也成立！22
创新探究6（最初的“大眼睛”）：
B F1C D A P x2y2已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)，圆N:x2?y2?b2,等轴双曲线K的中心在原点其右焦点为(2,0)，
ab椭圆M的焦点与双曲线K的顶点重和且在圆N上。抛物线H:x2?4y的焦点为F，椭圆M的下顶点为D，
P为椭圆M上一点（非椭圆上下顶点），直线PF交抛物线H于A、B两点且斜率为k1,
直线PD交圆N于C、D且斜率为k2.
（1） 求双曲线K、圆N、椭圆M的标准方程； （2） 证明：k1k2??1； 22（3） 探究：是否存在实常数?使得(AB??)CD222?4恒成立？若存在求出?的值；不存在说明理由！
（4） 是否存在Z:x?y?r(r?0),使得圆Z的任意一条切线均与椭圆M交于E、F两点
并且满足：OE?OF，存在求出该圆的方程，不存在说明理由！
B F1P D 解（1）如图：对于等轴双曲线K:c?。。。。。。。。1分 2,a?b?1.故方程为：x2?y2?1;。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 圆N:方程为：x2?y2?1;。
x2椭圆M的焦点为双曲线的顶点，故其c?1,b?1,a?2,方程为：?y2?1; 。。。。。。3分
22x0y?1y?12（2）由题意知：设P(x0,y0),。。。。。。。。。。。。。。。5分 ?y0?1,k1?0,k2?0,。
2x0x022x0y0?1y0?1y0?112。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 ??y0?1,k1k2??????, 。22x0x02x0设直线PF:y?k1x?1,带入x2?4y得：x2?4k1x?4?0,（3）
2。。。。。。9分 x12?x2(x1?x2)2?2x1x22x1?x2?4k1,x1x2??4,y1?y2???4k1?2,44。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 对于AB,由抛物线的焦点弦公式知：AB?y1?y2?2?4k12?4,。
设直线PD:y?k2x?1,圆心（0,0）到其距离d?11?k22,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
24k214。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 CD?4(1?)??, 。221?k21?k24k12?12??AB?4CD2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14 ?3 。
（4）与2009山东理科22题第2问相似：Z:x?y?
222 3B F1A P C D
创新探究7（新“大眼睛”）：
新“大眼睛”
刘红升 2011.4.18晚
穿过你的黑发的我的手，穿过你的心情的我的眼 牵着我无助的双手的你的手，照亮我灰暗的双眼的你的眼
如果我们生存的冰冷的世界依然难改变，至少我还拥有你化解冰雪的容颜
留不住你的身影的我的手，留不住你的背影的我的眼
如此这般的深情。。。。。。
前尘后世轮回中谁在声音里徘徊，痴情笑我凡俗的人世终难解的关怀
P A Q B 新“大眼睛”
M 1x2y2222??1上顶已知圆:x?y?过抛物线C1:x?2py(p?0)的焦点；圆：:x?y?1过椭圆C2:164b222点； 直线l1与l2分别与抛物线C1相切于P、Q两点，且l1?l2，l1?l2?M。
（1） 求证：P、M、Q三点的横坐标依次成等差数列；M点的纵坐标为定值； （08） （2） 证明：直线PQ恒过定点； （05、07） （3） 是否存在实常数?，使得PQ??OM2?3恒成立？存在求出?；不存在说明理由。 （10） 4（4） 是否存在点P满足：若l1与椭圆C2交于A、B两点，则M恰为AB中点。若存在求出P点坐标；若不
存在说明理由。 （11）
P A Q M B