x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右两焦点分别为F1,F2，（其中O为坐标原点）.直线L与椭圆C交于
abM、N两点，Q(x,y)为椭圆上一点且满足：?OM??ON?OQ。
开放命题1： 让x1x2y1y2?2?1即(???)2?1是否可以展开呢？ 2ab开放命题2：让x1x2y1y2?2?n是否可以展开呢？ 2ab。。。。。。有多少梦可以追？
追梦人
凤飞飞演唱
让青春吹动了你的长发让它牵引你的梦 红红心中蓝蓝的天是个生命的开始 春雨不眠隔夜的你曾空独眠的日子 让青春娇艳的花朵绽开了深藏的红颜 飞去飞来的满天的飞絮是幻想你的笑脸 秋来春去红尘中谁在宿命里安排 冰雪不语寒夜的你那难隐藏的光采 看我看一眼吧 莫让红颜守空枕 青春无悔不死 永远的爱人 让流浪的足迹在荒漠里写下永久的回忆 飘去飘来的笔迹是深藏的激情你的心语 前尘红世轮回中谁在声音里徘徊 痴情笑我凡俗的人世终难解的关怀
不知不觉这城市的历史已记取了你的笑容大眼睛------数学是有生命的
我可以不知道 你的名和姓，我不能不看见 你的大眼睛 我从来不明白 命运是什么，自与你一相逢 从此不寂寞 你的眼光 似乎对我诉说，好时光千万不要蹉跎 不管你心里是否有个我，我永远为你祝福 愿你快活 我可以不知道 你的名和姓，我不能不看见 你的大眼睛 x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L交圆C2于A、B两不同点，求S?AOB的最大值并判断此时直线L与圆C1的位置关系。
B A O 解：由题意知得：圆C1:x2?y2?1,圆C2:x2?y2?2 （法一）
11OAOBsinAOB??2?2?1?1,等号当仅当?AOB?900时取。222 此时：?AOB恰为等腰直角三角形，因此O到直线L的距离d??2?12故，此时此时O到直线L的距离d恰好等于圆C1的半径，直线L恰好与圆C1相切。S?AOB?（法二）
AB122S?AOB?ABd.其中d为O到直线L的距离，根据半径、半弦长、弦心距的关系知：d??OB242?d2?d22222?AB?8?4d,?S?AOB?2?dd?(2?d)d??1，等号当仅当2?d2?d2,即d?12时取，此时O到直线L的距离d恰好等于圆C1的半径，直线L恰好与圆C1相切。（法三）
2设此时直线L的方程：y?kx?b,与圆x2?y2?2得：(1?k2)x2?2kbx?b2?2?02kbb2?2设A(x1,y1)、B(x2,y2),?x1?x2??,x1x2?21?k1?k2b(2?2k2?b2)b21122?S?AOB?ABd?1?k?(x1?x2)?4x1x2??2221?k21?k
2222?2k?b?bb222222??1,等号当仅当2?2k?b?b，即b?1?k,此时d??121?k21?k此时O到直线L的距离d恰好等于圆C1的半径，直线L恰好与圆C1相切。当直线L的斜率不存在时最大值仍是1，在此略。（小结：此题充分展示了圆—数形结合的精灵！若用法三则将圆当成椭圆不符高考方向）
创新探究1（娄娟的“大眼睛”）：
x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L分别交圆C1、圆C2于A、B两不同点，求S?AOB的最大值。
B A O 解：由题意知得：圆C1:x2?y2?1,圆C2:x2?y2?2
S?AOB?
112 OAOBsinAOB??1?2?1?,等号当仅当?AOB?900时取。222创新探究2（崔清菲的“大眼睛”）：
x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L分别交圆C2、椭圆C于A、B两不同点，求S?AOB的最大值。
22B O A 22解：由题意知得：圆C1:x?y?1,圆C2:x?y?2
S?AOB?
116OAOBsinAOB??2?3?1?,等号当仅当?AOB?900时且B为椭圆左或右顶点时取。222创新探究3（万岱的“大眼睛”）：
x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若不过原点O的直线L椭圆C于A、B两不同点，求S?AOB的最大值。
B O A 解：由题意知得：圆C1:x2?y2?1,圆C2:x2?y2?2
x2y2（法一）设此时直线L的方程：y?kx?b,联立??1得：(2?3k2)x2?6kbx?3b2?6?0326kb3b2?6设A(x1,y1)、B(x2,y2),?x1?x2??,x1x2?，??0得：3k2?2?m2222?3k2?3kb(2?3k2?b2)b21122?S?AOB?ABd?1?k?(x1?x2)?4x1x2??6?2222?3k21?k
2?3k2?b2?b26222222?6??,等号当仅当2?3k?b?b，即2b?2?3k,此时??0成立。222?3k?S?AOB?62请问：您发现了什么？------这不是很像2011高考数学山东理科22题第一问吗？22x12y12x2y2（法二）设A(x1,y1)、B(x2,y2),???1,??13232x1y2?y1x2y1直线OA:y?x,即：x1y?y1x?0,d为点B到直线OA的距离?x1x12?y12?S?AOB?x1y2?y1x2112111OAd?x1?y12??x1y2?x2y1?x1y2?x2y122222x12?y12(x13)2?(2y22)2?62(x23)2?(2y12)2?62?6x1y26x2y16????2323222x13?y22且x23?y12
等号当仅当22时取，此时恰好x12?x2?3,y12?y2?2,注：此种方法一般不被同学和老师们重视与掌握（仅限于“设而不求”程度）。但是我觉得这也是一种通法！建议看看我的文章：“解析几何隐形的翅膀”！注：此题三角代换及利用矩阵也都可以但是高考对这两种方法没有明确要求，在此略！
请你展开想象的翅膀进行创新吧（无需证明）---神秘的翅膀展开了像是梦幻的气息。
创新猜想举例：
x2y2??1，圆C1圆心为O且过椭圆C的左右焦点,圆C2圆心为O且过椭圆C的上下顶点， 已知椭圆C:32若直线L分别交圆C1、圆C2、椭圆C于A、B、C、两不同点，求S?AOB的最大值。
C A O B 提出问题也是一种创新。
创新探究4（巨慧的“大眼睛”）：
bx2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，圆C1圆心为O且半径为,圆C2圆心为O且过椭圆C的左右焦点，如图，
2ab若直线L过椭圆C的右焦点F1与圆C1相切于A点，与椭圆C相交于B点，且点A为点B与点F1的中点。求椭圆C的离心率及圆C1与圆C2的半径比。 B F2 A O F1 B F2 A O F1 解：有题知：OA?22b,F2B?b,F1B?2a?b,F1F2?2c,在直角三角形F1BF2中，b2?(2a?b)2?4c2222b4c?b?(2a?b)?4(a?b),得：?,?a5abb2两圆半径比?2??c2c3c2?2aa2?b2b23?1?()?,(a:b:c?5:4:3)2a5a