九年级数学总复习 第四部分 图形的认识和证明
太和区第二初级中学 孙宝权 刘公余
Ⅰ、三角形和相似形
一、考点分析及难点提示
1．熟练掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质、判定及作图方法. 2．熟练掌握三角形的中位线定理. 3．三角形全等的证题思路
4．等腰三角形的性质与判定
提示：“三线合一”的应用是等腰三角形的重点,在证明过程中，常常要做辅助线�底边上的高,以便使用这个性质证明线段相等、垂直或角相等. 5.Rt△知识注意问题 (1)勾股定理常要用到：
两条直角边的平方和等于斜边的平方. (2)直角三角形中线定理也是常用到的.
如图，由∠C=90°，D为AB中点，得
.
6.相似三角形 三角形相似的判定： 两角对应相等； 三边对应成比例；
两边对应成比例且夹角相等. 相似比问题： 线段比等于相似比； 面积比等于相似比的平方.
相似三角形中常见的基本图形如图：
注意：在判断相似三角形的有关问题时，不要忽视公共角和对顶角，另外，很多题目的结论是等积式，只要把等积式化成比例式，就能找到解决问题的途径. 7．相似三角形的应用 （1）位似图形.
（2）平行投影在太阳光下同一时刻的物高与影长成比例.即 8．黄金分割
（1）定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果黄金分割点，
叫黄金比.
，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫
（2）比值： .
（3）主要是应用于计算和作图（黄金分割点的几种作法，作黄金矩形）. 9．几何证明中辅助线的特殊作法 1.平移法：平行移动线段到相关位置.
2.对称法：利用轴对称和中心对称判断相关线段的关系. 3.旋转法：利用旋转作图的性质判断相关线段和角的关系. 二、三角形部分典型题
1．已知A、B两点，以A、B为其中两个顶点，作等腰直角三角形，一共可作 个.
2．如图，平面镜A与B之间的夹角为110°，光线经过平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为 .
3．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转45°.某一指令规定，机器人先向正前方行走1米，再左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，一共走了 米. 4．如图，OA=OB=OC，∠B=40°，∠C=25°，则∠BOC的度数为 .
5．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数为 . 6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，要使△ABD与△ACD全等，只需再添上一个条件，这个条件可以是 .
7．已知三角形的三边是方程的两根，那么它的周长是 .
8．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需要在它的内部添加一些钢管EF、FG、GH??，添加的钢管的长度都与OE相等，那么最多能添加这样的钢管 根.
9.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1,求AG的长.
10．如图是一三角形的纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角C沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，求∠2的度数.
11．如图，在△ABC中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE相交于F，∠ABC=45°，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论，组成一个正确命题，并证明这个命题.①AD⊥BD；②AE⊥BF；③AC=BF.
12．如图，在333方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.请画出三个面积为3的格点三角形.要求：①与例图不同；②不重复（两个全等图形视为重复）；③在提供的3张图纸上各画一个.
三、实战练习 （一）填空题
1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是_________. 2．如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是_________度. 3.如图，D是ΔABC的AB边上的一点，过点D作DE//BC，交AC于E. 已知AD∶DB=1∶3，那么SΔADE∶SΔABC=_________. （二）解答题
1．如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR//BE.求证：ΔPQR是等腰三角形.
2．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ΔADQ∽ΔQCP. 3．已知：如图，正方形DEFG内接于RtΔABC,EF在斜边BC上，EH⊥AB于H.求证： （1）ΔADG∽ΔHED； （2）EF=BE2FC. 四、相似形部分典型题
2
1．如图，把菱形ABCD沿着对角线的AC方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，若则菱形移动的距离AA′是 .
，且，
2．上午10时，校园内的旗杆影长为15米，与此同时，高为1.5米的测杆影长为2.5米，则旗杆的高是 .
3．已知，如图，矩形EFGH的顶点在△ABC的三边上，AD⊥BC，若BC=10cm，AP=16cm，矩形的周长为24cm，则△ABC的面积是 .
4．已知，1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式 .
5．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，这棵大树高为 米.
6．在矩形ABCD中，DH⊥AC于点H，若AH=6，CH=2，则S矩形ABCD= .
7．已知：如图，正方形ABCD中，DC=12，E是CD上的一点，DE=5，AE的中垂线分别交AD、BC于M、N，垂足