第十一章 全等三角形
11.1 全等三角形
知识点一 全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置。看两个图形是否全等，只要把他们叠合在一起，看是否能够完全重合，能够重合即为全等形。 知识点二 全等三角形的定义和表示方法
（1） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2） 全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完
全一样，叠合在一起是否重合，与他们的位置没有关系。把两个全等的三角形叠合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的叫做对应角。
（3） “全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 找对应边、对应角通常的几种方法：
1， 在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最
小角。 2， 对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；
3， 根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角，如△ABE≌△ACD，则对应边是AB与
AC、BE与CD、AE与AD，对应角∠ABE与∠ACD、∠AEB与∠ADC、∠BAE与∠CAD。 知识点三 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等。
三角形及全等三角形测试题
一．填空题(每小题2分,共38分)
1．三角形的三边长为3、7、x，则x的取值范围是 。
2．五条长度分别为1、2、3、4、5的线段任选3条，可以组成 个三角形。 3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠A= ，∠B= 。 4．三角形按角分为 、 和直角三角形。 5．如图1，已知AB⊥AC，AD⊥BC，∠1=43°，则∠B= 。
6．如图2，∠ACE=∠BCE，BD=CD，则AD是△ABC的 线，CE是△ABC 的 线。 BAACEBABAECD图41E 7．三角形的中线、高和角平分线都是 。
D图1CBD图2C D图3 8．如图1，以AD为高的三角形共有 个。 9．如图3，已知在⊿ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与∠B相等的角共有 个。 10．如图4，已知⊿ABC≌⊿ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°， 则∠CAE= 。
11．如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°，
1
∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。
12．如图6，已知AB=CD，AD=BC，则 ≌ ， ≌ 。
BE DAADE A
B1图6C2图7C 13．如图7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，AC与BD相交于点E，则图中全等三角形为 。
二．选择题：（每小题3分，共15分）
1．如图，⊿ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是⊿ABC（ ） A、BC边上的高 B、AB边上的高
CC、AC边上的高 D、以上都不对
2．锐角三角形中任意两个锐角的和必大于 ( )。
BAA 120° B 110° C 100° D 90°
3．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角（ ） A、一定有一个内角为45? B．一定有一个内角为60? C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 4．下列命题中正确的是（ ） ①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。
A．4个 B、3个 C、2个 D、1个
DA5．如图，已知AB=CD，AD=BC，则图中全等三角形共有（ ） A．2对 B、3对 C、4对 D 、5对
B 6、如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若 C △ADB≌△EDB≌△EDC，?则∠C的度数为（ ）
（A）15° （B）20° （C）25° （D）30°
三．解答题：
1． 已知⊿ABC，分别画出A的角平分线、BC边上
A的中线和AC边上的高。（6分）
CB
2
D图5CBD 2．如图，在⊿ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是⊿ABC的角平分线，求∠ADB的 度数。
A
3． 一个正方形剪成4个全等的直角三角形，请用这4个直角三角形拼成符合下列条件
的图形。
（1）不是正方形的菱形（1个） （2）不是正方形的矩形（1个） （3）不是矩形和菱形的平行四边形。（10分）
4． 如图，⊿ABC≌⊿DEF，∠A=70°，∠B=50°，BF=4，求∠DEF的度数和EC的长。
ED
C F
A
5． 如图，已知AD=BC，AC=BD，你能否得到∠D=∠C的结论？说说你的理由。
11.2 三角形全等的判定
ADCBDCB B知识点一 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”（重点） 知识点二 两边和他们的夹角相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS” 知识点三 两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“ASA” 知识点四 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”
思考：“有两角和一边分别相等的两个三角形全等“这句话正确吗？
知识点五 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL” 条件 一般三角形 边角边（SAS） 角边角（ASA） 直角三角形 斜边、直角边（HL） 边边边（SSS） 角角边（AAS） 性质 对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段相等（如对应线段上的高、中线）相等 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 注意：判定两个三角形全等必须具备的条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。
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(1)边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)． 1. 如图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，
求证： △ABD≌ △ACD
2. 已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD＝FB， 求证；△ABC≌ △FDE。
3. 工人师傅常用一个角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边
OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么？
4. 已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE．求证：△ABE≌△DCF
5. 如图,已知:AB=CD,AD=BC．求证:AB∥CD．
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6. 已知：如图 , AB=AD , DC=CB．求证：∠B=∠D
7. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．
8. 已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上．求证：∠CAE=∠DAB．
9. 已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC
(2)边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．
10. 已知:如图, , AB=AC AD=AE , 求证：∠B=∠C
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