证明三角形全等的一般思路
全等三角形具有对应边相等和对应角相等的性质，是证明线段相等或角相等的依据，因此，掌握全等三角形的证明方法特别重要。下面举例介绍证明两个三角形全等的一般思路，供同学们学习时参考。
一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。 例1. 如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。
求证：AD＝BE
A E B C D 图1
二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）
例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。 求证：AM＝CN
M N A C B D 图2
三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）
例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。 求证：△CAB≌DBA
D C O A B
图3
四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等
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例4. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE＝AF
A F E D G B C
图4
五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形 例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。求证：∠ADB＝∠CDE
A 2 D F 1 B E C G
全等三角形创新试题赏析
一、条件开放型
图5
例1（深圳市）如图1，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是＿＿＿．
B
图1
C
B
图2
A
D
D A E
C
l C
D 图3
F B E
A 例2（长沙市）如图2，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是____ (添加一个条件即可)． 二、结论开放型
例3如图3，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
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例4如图4，△ABC是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与△ABC全等的一个格点三角形．
A B 图4 O C x
y 例5如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA，PD分别交线段BC于点E，F，且PA＝PD．
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）； （2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．
例6如图6，已知△ABC为等边三角形，D，E，图F分别在边BC，CA，AB上，且△DEF也是等5 边三角形．
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．
A E
F B
D 图6
C
例7一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图7形式，使点B，F，C，D在同一条直线上．
A C E P M N
D
E A F
图7
D B B
F C
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（1）求证：AB⊥ED．
（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明． ．．说明 这是一道操作题，要解决所提出的问题就必须注意在操作过程中的图形变换．
11.3 角的平分线的性质 知识点一 做已知角的平分线
把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 知识点二 角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 知识点三 角的平分线的判
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
角平分线练习 一、选择题
1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A. 70° B.120° C.115° D.130°
2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
3.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点
4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（ ）
A. 5cm、cm B. 4cm、5cm
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C. 5cm、5cm D. 5cm、10cm
5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（ ） A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角
6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）cm A. 2、2、2 B.3、3、3
C. 4、4、4 D. 2、3、5
二、填空题
1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题 ，它是 命题。 2.角平分线可以看作是 的点的集合。
3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是 cm。
4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |”的命题是 ，它是 命题。 三、简答题
1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，
AD = AC 求证：DC∥AE
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