二、学习新课 1、思考
如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的量？为什么？
（学生观察，猜想，并得出以下结论） ①CO=DO（同圆的半径相等）
②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 联结OA、OB，则OA=OB. ∵ AB⊥CD,
∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD,
∴ 弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC.
2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.
3、例题分析
例1 已知：如图，以点O为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C、D两点，
求证：AC=DB
分析：作OH⊥AB，垂足为H
证明略
例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
析： 分
如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）
1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义. 2、如何确定圆心的位置？
3、图中哪些表示圆O的半径？ 4、如何建立等量关系？
解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R 根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=R?7.2 ∵ OC⊥AB，且OC过圆心
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1AB=18.7 2在Rt△AOD中，∠ADO=90° ∵ AD2+OD2=OA2 ∴ 18.72+(R?7.2)2=R2 R?27.9
答：桥拱所在圆的半径约为27.9米. 三、巩固练习
1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.
2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm， 求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.
∴ AD=
四、课堂小结
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
五、作业布置
必做题：练习册：P5，习题27.3（1）
分层题：（选作3题）金牌P11～12 七、教学说明及反思
(1) 本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.
(2) 对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.
(3) 例题1是垂径定理的初步运用.学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过
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程的简约.
(4) 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情.例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明.
27.3(2) 垂径定理
一、教学内容分析
垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.
二、教学目标
知识与技能：掌握垂径定理的推论；会利用推论进行简单的作图、计算和论证；培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.
过程与方法：在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想； 情感态度与价值观：提高数学素养，用数学的眼光看世界. 三、教学重点难点
垂径定理推论的探索及应用.
四、教学流程设计 复习 提问 引入 新课 讲解 新课 定理 应用 巩固 练习 课堂 小结 五、教学过程设计 一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的弧．结合图形可表示为
∵CD是⊙O的直径 （1） AB⊥CD （2） ∴AM=BM （3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4）
将（2）和（3）对调，得到一个命题，
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∵CD是⊙O的直径 （1） AM=BM （3） ∴AB⊥CD （2） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（2）和（4），又得到一个命题．
∵CD是⊙O的直径 （1） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴AM=BM （3） AB⊥CD （2）
将（1）和（3）对调，得到一个命题； ∵AM=BM （3） AB⊥CD （2） ∴CD是⊙O的直径 （1） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（1）（2）和（3）（4）同时对调，得到一个命题； ∵AM=BM （3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴CD是⊙O的直径 （1） AB⊥CD （2） 将（1）和（4）对调，得到一个命题；
∵弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） AB⊥CD （2） ∴AM=BM （3） CD是⊙O的直径 （1） 这些命题是真是假？
就是我们本节要学习的垂径定理的推论．这时教师点题．“27.3(2) 垂径定理（二）”．
二、学习新课
1、引导学生结合图形给出证明，并用文字进行表述． 2、总结上述讨论可以概括为：
在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
[说明]当条件为直线“经过圆心”、 “平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系．
3、例题分析
例3如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D， ∠AOB=120°，AD=8．求OA的长．
O
A B D C
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例4已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．
A
三、巩固练习
练习1：按图填空：在⊙O中， （1）若MN⊥AB，MN为直径， 则______，______，______； （2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；
（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______， （4）若
=
，MN为直径，则______，______，______．
B
练习2、P16 四、课堂小结
１．这节课你学会了什么？
２．你认为有哪些要注意的地方？ ３．你还有什么问题吗？
五、作业布置
练习册：P7，习题27.3（2）
六、教学说明及反思
（1）为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出问题1、问题2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论。这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性．这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．
（2）课本中把解决这些问题化归为平分弦(不是直径)或平分弧的直径是否垂直于弦的问题，利用等腰三角形“三线合一”的性质和垂径定理，导出垂径定理的推论.最后，进行总结性的概括，得到“在圆中，对于某一条直线“经过圆心”，“垂直于弦”，“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果其中有两组关系成立，那么其余两组关系也成立“的结论.
(3) 例题3是垂径定理推论的初步运用，解题过程中用到锐角三角比知识，主要考虑到简化计算过程.
(4) 例题4是运用垂径定理的推论作图———等分一条已知弧。可先让学生独立思考作图的方法，然后共同说明作图的依据，并作总结.通过此例，可让学生归纳：要平分一条线段或圆弧，只要作出这条线段或联结这两点的的垂直平分线.结合这道例题，也可要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置，并说出作图的理由.
27.3(2) 垂径定理
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