FIR数字滤波器设计
本章知识点：
对于一个离散时间系统H(z)??bn?0Mn?1N-1nz?n,若分母多项式中系数a1?a2???aM?0，
1??anz?n则此系统就变成一个FIR系统H(z)??bn?0N?1nz?n，其中系数b0,b1.?,bN-1即为该系统的单位取样
响应h ( 0 ) , h ( 1 ) ,… h ( N-1 ),且当n > N-1时，h ( n ) = 0。
FIR系统函数H(z) 在Z平面上有N-1个零点，在原点z=0处有N-1个重极点。这类系统不容易取得较好的通带和阻带特性，要想得到与IIR系统类似的衰减特性，则要求较高的H(z)阶次。
相比于IIR系统来说，FIR系统主要有三大突出优点：1）系统永远稳定；2）易于实现线性相位系统；3）易于实现多通带（或多组带）系统。
线性相位FIR滤波器实现的充要条件是：对于任意给定的数值N（奇数或偶数），冲激响应h[n] 相对其中心轴
N?1必须成偶对称或奇对称，此时滤波器的相位特性是线性的，且群延时均为常数 2??N?1。由于h(n) 有奇对称和偶对称两种情况，h(n)的点数N有奇数、偶数之分。因此，h（n）2可以有4种不同的类型，分别对应于4种线性相位FIR数字滤波器：h[n] 偶对称N为奇数、h[n] 偶对称N为偶数、h[n] 奇对称N为奇数、h[n] 奇对称N为偶数。四种线性相位FIR滤波器的特性归纳对比于表5.１中。
表5.1 线性相位FIR滤波器特性 偶对称 h (n) = h ( N-1-n ) 奇对称 h(n) = - h (N-1-n) N-1?N-1?(?)?-??(?)?-? 相222位θ(ω) θ(ω) 函数 ω 幅度函数 : H(?)?相N为奇数 a(n)?h(N-12N?12n?1ω （n?）?a(n) cos(n?) 幅度函数: H(?)??c(n)sinn?0 H??? Oπ N?1) n?0 ?N?1?2c(n)?2h??n? n=1, 2, …, (N-1)/2 ?2?N?1a(n)?2h(?n) n?0 2 H???2πO2ππ??N为偶数 NN 221 幅度函数 : H(?)?b(n) cos? (n-1)?? 幅度函数：H(?)?d(n)sin（n-）? ??? 2???n?12n?1相N?N?b(n)=2h(-n)，n=1, 2, …N/2 d(n)?2h?n?? n=1, 2, …, N/2 2 H???2πOπ?2? H????Oπ2π?一．FIR DF设计方法
FIR DF的设计实现不能像IIR DF设计那样借助于模拟滤波器的设计方法来实现，其设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性进行不同程度逼近的基础上，主要的逼近方法有三种：窗函数法；频率抽样法；最佳一致逼近法。
1． 窗函数法
窗函数法是设计FIR滤波器的最直接方法，它通过采用不同时宽的窗函数，对理想滤波器的无限长冲激响应hd(n)进行截短，从而得到系统的有限长冲激响应 h (n)，这一过程可用式5－1来描述：
N-1?|n|??hd(n), h(n)?hd(n)wR(n)＝?2 （5.1）
?其它?0, j?其中WR(n)是时宽为N的窗函数。
由分析可知，加窗处理使所得滤波器的频响H(e)与理想滤波器频响Hd(ej?)之间产生差
异，具体表现在过渡带和波动的出现。我们希望所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器，就要设法减
小波动的幅值，同时使过渡带变窄。因此为了改善滤波器的性能，要求窗函数尽量具有以下特性：
1） 主瓣宽度尽可能地窄，以获得尽量陡的过渡带。
2） 最大旁瓣相对于主瓣尽可能地小，即能量尽可能集中于主瓣内，以使肩峰和波动减小。 对于窗函数，以上两个要求是相互矛盾的，不可能同时达到最佳，要根据需要进行折衷的选择，通常是以增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。下面是几种常用的窗函数及其频谱特性： ? 矩形窗
?1, 0?n?N?1w(n)?? （5.2）
?0, 其它
j??jN?1?2WR(e)?e
?N??sin??2?? (5.3) ???sin???2?? 三角窗（或巴特利特 Bartlett 窗）
N－1?2n, n?0,1,...,??N－12w(n)?? (5.4)
???2－2nN?1, n?N2,...,N?1
??N?2N?1?sin?1?????W(ej?)?2?j(2)???4??N?1e????sin?????2???? ??N2 ?2?j(N?1?sin??????2)???4??Ne????? (N??1)?sin??2?????? 汉宁（Hanning）窗 —— 升余弦窗 w(n)?sin2??n???N?1???0.5?0.5cos??2n???N?1?? n?0,1,2,...,N?1
?N-1?W(ej?)???0.5W??2???2????-j?2????R(?)?0.25??WR????N?1???WR????N?1?????e????2??? ?-j?N-1??0.5W??2?????2??? (N??1)?R(?)?0.25??WR????N???WR????N?????e?? 汉明（Hamming）窗 —— 改进的升余弦窗
w(n)?0.54?0.46cos??2n???N?1?? n?0,1,2,...,N?1
?N-1?W(ej?)???0.54W?0.23W?2???2???-j?2????R(?)R????N?1???0.23WR????N?1????e? ??-j??N-1??0.54W?2???2????2????R(?)?0.23WR????N???0.23WR????N????e? 布莱克曼（Blackman）窗——又称二阶升余弦窗
w(n)?0.42?0.5cos??2n???N?1???0.08cos??2??N?12n??? n?0,1,2,...,N?1 ?N-1?W(ej?)???0.42W??2???2????-j??2???R(?)-0.25?WR??-????N-1???WR????N-1?????e??N-1? ?0.04??W?4???4???-j?2????R???-N-1???WR????N-1????e?
(5.5)
(5.6)
（5.7）
(5.8)
(5.9)
(5.10) (5.11)
? 凯瑟（Kaiser）窗
2???2n????I0??1??1????N?1??????, w(n)? 0?n?N?1 (5.12)
I0???表5.2列出了以上各窗函数的综合性能指标。表5.3给出了不同β值下的凯瑟窗性能总结。
表 5.2 常用窗函数的性能指标 窗函数 矩形窗 汉宁窗(升余弦窗) 汉明窗(改进升余弦窗) 布莱克曼窗(二阶升余弦窗) 凯塞窗（β=7.865） 旁瓣峰值 衰减（dB） -13 -31 -41 -57 -57 窗函数 主瓣宽度 4π/N 8π/N 8π/N 12π/N 10π/N 加窗后滤波器过渡带宽（△ω） 1.8π/N 6.2π/N 6.6π/N 11π/N 10π/N 加窗后滤波器阻带 最小衰减（dB） -21 -44 -53 -74 -80
表 5.3 不同β值下的凯瑟窗性能 β 2.120 3.384 4.538 5.658 6.764 7.865 8.960 10.056 加窗后滤波器 过渡带（△ω） 3.00π/N 4.46π/N 5.86π/N 7.24π/N 8.64π/N 10.0π/N 11.4π/N 12.8π/N 加窗后滤波器阻带 最小衰减（dB） -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 用窗函数法设计FIR滤波器的实现步骤如下：
(1) 根据所要设计滤波器的性能指标（阻带最小衰减、过渡带宽），通过查表来选定窗函数w(n)，通过计算求得窗的宽度N：
带??相应的窗函数精确过渡N???滤波器过渡带??????上取整
根据所要设计线性相位FIR滤波器的类型来决定最终N取奇数或偶数，一般情况下取奇数。 (2) 根据相应的频率响应函数Hd(ej?)，求傅立叶反变换，得到hd(n)。
(3) 按所得窗函数求出FIR滤波器的冲激响应：h(n)=hd (n) w(n) n= 0, 1, 2, …, N – 1。
(4) 利用h(n)计算FIR滤波器的频响H(ej?)，并检验各项指标，如不符合指标，则重新修改N及w(n)。
2．频率取样法
窗函数法是在时域内，以有限长冲激响应 h(n)去近似所要求的理想冲激响应hd(n)，从而实现FIR滤波器的设计。而频率取样法则是在频域内，以有限个频率响应取样，去近似所要求的理想频率响应Hd(ej?)的方法。
FIR数字滤波器的频率响应可以用其冲激响应h(n) 的DFT值 H(k)，通过内插公式来得到，即：
H(ejw)?e?j(N?1)N?1w2k?0?H(k)ej(N?1)k?/Nsin?N(??2?k/N)/2? （5.13）
?(??2?k/N)/2?Nsin
定义内插函数为： S(?,k)?e
则频率响应为：
H(ejwj(N?1)k?/Nsin?N(??2?k/N)/2? （5.14） Nsin?(??2?k/N)/2?)?e?j(N?1)N?1w2k?0?H(k)S(w,k) （5.15）
H(k)可以通过对理想频率响应Hd(ej?)函数进行取样离散来确定，即令：
H(k)?Hd(ej2?kN) k?0,1,2,...,N?1 （5.16）
由H(k) 经过内插即可得到滤波器的频率响应H(ej?)。这时的H(eiω) 即为对理想频率响应
Hd(ej?)的近似。在H(k)这些取样频率点上，二者具有相同的频响。即：
H(e)?H(k)?Hd(k)?Hd(e)
但在两个取样点之间，频率响应则是由各取样点间的内插函数加权确定，因此，存在着逼近误差，误差的大小取决于理想频率响应Hd(ej?)的曲线形状和取样点数N的大小。
同样，要保证FIR数字滤波器的线性相位特性，就必须对频域取样值H(k) 提出相应的约束条件，而不能任意指定。四类线性相位滤波器对H(k)的约束条件如下： h(n)偶对称、长度N为奇数时：
Hk?HN-k θk??h(n)偶对称，长度N为偶数时：
j2?kNj2?kNN?1k? （5.17） N?k?- Hk?-HN-k h(n)奇对称，长度N为奇数时：
N-1k? （5.18） N-Hk?-HN-k ?k?h(n)奇对称，长度N为偶数时：
?N-1k? （5.19）
2N-Hk?HN-k ?k?
?N-1k? （5.20）
2N二. FIR DF的实现结构
FIR滤波器传输函数的不同数学表达形式，对应有不同的系统实现结构。实现FIR数字滤波器常用的几种结构如下：
? 直接型
由线性系统输入输出间的卷积关系得到如图5.1所示的直接型结构，图5.2为图5.1的转置结构。