考虑到??w?的线性特性，有如下结论 (a) 当
?N?1???w?????w
2??有
1hBR?n??2???e???N?1?j?(?w)?wn?2??dw?hBP?n?N?1)?]12???hBP?n?
N?12?j(n?)2N?1sin[(n?)?]2??hBP?n?N?1(n?)?22jsin[(n????1?n?1sin??N?1??/2??hBP?n?,?????n??N?1?/2???h?n?,?BP
(b) 同理当
N?偶数N?奇数
??N?1???w?????w＋时
2?2?有
?j??1?n?1sin??N?1??/2??hBP?n?,?hBR?n?????n??N?1?/2???h?n?,?BPN?偶数N?奇数
5.10 FIR 低通滤波器具有如下指标：阻带衰减50 dB，通带边缘1.75 kHz、过渡带宽 度1.5kHz、取样频率8kHz。
(1) 写出滤波器的差分方程
(2) 画出滤波器的幅度响应[ (dB)对Hz ]的曲线，验证它满足指标 解：
(1) 根据题意，设计该滤波器截止频率：
fc?fp??f1.5?1.75kHz??2.5kHz 22转换为数字截止频率：
wc?2?fc?0.625? fs可得
hd?n??sin[0.625??n???]
??n???由阻带衰减50dB，选择汉眀窗；
N?1?6.6?????9 ,希望N为奇数，因此取N＝19，N???18?2?w??采用汉眀窗设计时
w?n??0.54?0.46cos(2n?)N?1 n??0.54?0.46cos()9???n???sin[0.625?n????], 0?n?18??0.54?0.46cos???9n??最后得到：h?n???? ??????0 , 其它?
可求得滤波器的差分方程：
y?n??h?0??h?1?x?n?1????h?18?x?n?18???0.0082?0.0248x?n?2????0.0248x(n?16)?(?0.0082)x?n?18?
其中：h(1)=h(17)=0。 (2)
由（1）可画出幅频响应曲线如图P5-8所示：
图P5-8
5.11 为了评测10 Hz 取样系统中应变仪的动态质量，必须将大于1Hz的所有频率虑除，设计适当的滤波器来实现这一目标。
分析：根据题意可知，要设计一低通滤波器以虑除1Hz以外的频率分量，并且截止频率和取样频
率已经知道，自己选择适合的过渡带宽与阻带衰减进行设计。 解：
由题意，fs?10Hz,fc?1Hz，
不妨假设过渡带宽：?f?0.1Hz，并以阻带衰减50dB来设计此低通滤波器。 转换为数字频率：
wc?2? 可得
fcΔf=0.02π ?0.2?, Δw=2πfsfshd?n??sin[0.2??n???]
??n???由于所选阻带衰减50dB，故选择汉明窗：
?6.6??N???330，希望N为奇数，因此取N＝331 ???w? ??汉眀窗函数
N?1?165 2
?n??w?n??0.54?0.46cos??
165??可得此滤波器的冲激响应为：
????n???sin[0.2?n????]0.54?0.46cos, 0?n?330 ?????? ? h?n??????n????165????0 , 其它??
当然，根据不同的阻带衰减和滤波器阶数的要求，可以应用其它窗函数以满足要求。
5.12 设计满足下列指标的FIR带通滤波器，取样频率16 kHz、中心频率4 kHz、通带边缘在3 kHz和5 kHz、过渡带宽度900 Hz、阻带衰减40 dB。求出并画出滤波器的脉冲响应。
分析：根据带通滤波器的设计思想，一个带通滤波器相当于两个截止频率不同的低通滤波器相减。 解：
过渡带宽：?f＝900HZ＝0.9KHZ 转换为数字频率：?w＝2?截止频率：
?f2??0.9??0.1125? fs16fl?flc-fh??f?3-0.45?2.55KHZ 2?ffhc??5?0.45?5.45KHZ
2转换为数字截止频率：
wl?2?wh?2?冲激响应为：
fl?0.1594? fsfh?0.3406? fssin[wh?n???]?sin[wl??n???]??n???sin[0.3406??n???]?sin[0.1594??n???]??n???hd?n???
窗函数：阻带衰减40dB，可以选择汉宁窗， 即： w?n??0.5?0.5c?os窗口长度：
?2n????N?1?n?0，…，,1,2－1 N?6.2??N????56，希望N为奇数，因此取N＝57， ?w???＝N?1?28 2此时滤波器得冲激响应为：
?sin?0.3406??n?28???sin?0.1594??n?28???w?n? , 0?n?56? h?n???n?28?????0 , 其它其幅频响应如图P5-9所示：
图P5-9
5.13 24 kHz取样系统里，要从传感器信号中提取2 kHz到8 kHz之间信号，所需滤波器至少要有50 dB的阻带衰减，过渡带宽度不大于500 Hz。计算确定滤波器的脉冲响应。
分析：同上题，根据带通滤波器的设计思想，一个带通滤波器相当于两个截止频率不同的低通滤波器相减。 解：
过渡带宽：?f＝500HZ＝0.5KHZ 转换为数字频率：?w＝2?截止频率：
?f2??0.5??0.0417? fs24fl?flc-fh??f?2-0.25?1.75KHZ 2?ffhc??8?0.25?8.25KHZ
2转换为数字截止频率：
wl?2?flfh ?0.1458? wh?2??0.687?5fsfs冲激响应为：
sin[wh?n???]?sin[wl??n???]hd?n????n????sin[0.6875??n???]?sin[0.1458??n???]??n???
窗函数：阻带衰减50dB，可以选择汉明窗， 即： w?n??0.54?窗口长度：
?2n??0.46?cos??N?1?n?，…，0,1,2－1 N?6.6??N???159， ??w???＝N?1?79 2此时滤波器得冲激响应为：
?sin[0.6875??n?79?]?sin[0.1458??n?79?]?w?n? , 0?n?158????n?79?h?n???
?0 , 其它?其幅频响应如图P5-10所示：