E2M2?a0?A0???2??an?1M0?An????bn?Bn??22n?1Mn?M?1??a?2n2 ?bn?E由于上式中每一项都是非负的，所以，只有当A0?a0,An?an,Bn?bn,n?1,2,?,M时，
2M才最小。当我们利用Hejw来近似Hdejw时，欲使近似误差为最小，Hejw的单位抽样响应必须是Hdejw的傅立叶系数。这也说明，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的最佳逼近，其逼近误差为：
????????E?2Mn?M?1?h?n?
2d2M?自然，M越大，误差E越小（因为hd?n?值愈小）。
但如果我们把截短后的hd?n?再乘以非矩形窗w?n?后，He??已经不是在最小平方意义上对
jwHdejw的最佳逼近了。故得证。
5.18要设计一个理想线性相位带通滤波器
??
?e?jw?,?Hd?ejw????0,?w0?wc?w?w0?wc
0?w?w0?wc,w0?wc?w??若需阻带衰减大于(1) 50dB；(2) 60dB。
试用窗函数法设计这两个滤波器（取w0?0.5?，wC?0.1?）。 解：
（1）阻带衰减大于50dB，选择汉眀窗可满足要求； 根据题设，过渡带宽至少必须满足：
6.6??0.1?,N即N?66
我们取N＝67（当然，还可选取更大的N值以提高精度，但运算量也会响应加大）。 并且
1hd?n??2???H?e?ejw?d?jwndw
2?sin??n???wc??cos???n???w0????n????其中 ??可得：
N?1?33 2??2??n??0.54?0.46cos????????n?33?sin?0.5??n?33???cos?0.5??n?33??33?????? h?n??hd?n?w?n???0?n?66?0,其它???(2) 阻带衰减60dB选择凯塞窗（β＝5.658）即可满足要求；
根据题设，过渡带宽至少必须满足：
7.24??0.1?,N即N?72.4，
选取N＝73，并由（1）可得到hd?n? 所以可得：
??n2?I5.6581?(1?)??0?36?2???sin?0.5??n?33????cos?0.5??n?33??,?I0?5.658???n?33????h?n??hd?n?w?n???0?n?72?0,其它?????
5.19滤波器单位脉冲响应为
?0.2n 0?n?5 h(n)??0 others ?求横截型结构。
解：
根据题目所给的差分表达式，可得
y?n???h?m?x(n?m)m?0N?1
?x(n)?0.2x(n?1)?0.04x(n?2)?0.008x(n?3)?0.24x(n?4)?0.25x(n?5)
所以横截型结构如图P5-13所示： z?1z?1 x(n) 0.2 0.04 1 z?10.008 z?10.0016 z?10.00032
图P5-13
y(n) 5.20用横截型和级联型网络实现下面传递函数。
?1?2 H(z)?(1?1.41z42?z?1?)(z1
)解：
（1）根据题意：
H(z)?(1?1.4142z?1?z?2)(1?z?1)?1?0.4142z?0.4142z?z?1?2?3
可画出其横截型结构如图P5-14所示： ?1?1?1zzz x(n)
1 -0.4142 1 -0.4142 y(n)
图P5-14
（2）由H(z)的的表达式，直接画出级联型结构如图P5-15所示：（差两个箭头）
x(n) y(n) 1 ?1?1zz
-1.414?1 z
1
图P5-15
5.21用横截型和级联型网络实现下面传递函数。 H(z)?(1?1.41z42?z解：
（1）根据题意：
?1?2?1?)(z1
)H(z)?(1?1.4142z?1?z?2)(1?z?1)?1?0.4142z?0.4142z?z?1?2?3
由传输函数可写出其对应的系统差分方程：
y(n)=x(n)－0.4142x(n-1)－0.4142x(n-2)－x(n-3)
可画出其横截型结构如图P5-16所示： ?1?1z?1zz x(n)
1 -0.4142 1 -0.4142 y(n)
图P5-16
（2）由H(z)的的表达式，直接画出级联型结构如图P5-17所示：
x(n) y(n) 1 ?1?1zz
-1.414 z?1
1
图P5-17
5.22试求下图所示网络的转置网络，且证明原网络与转置网络的传递函数相同。
z-1 z-1
x(n) a b c y(n)
解：
（1）转置网络如图P5-18所示
c z ?1z ?1 y(n) b x(n)a
图P5-18
（2）证明：
由（1）可写出转置后的传递函数
H'?z??cz?1?bz?2?a?a?bz?cz显然 H?z??H?z?
'?1?2
5.23试问用什么结构可以实现以下单位脉冲响应：
h(n)??(n)?3?(n?3)?5?(n?7)
解：由题设，
h?n????n??3??n?3??5??n?7? h?0??1,h?3???3,h?7??5, 其它为零。
可知
所以可由横截型结构实现如下：
x(n) 1z?3 z?4 5 -3 y(n)
5.24 FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周偶对称的，即 N = 6 h(0) = h(5) = 1.5 h(1) = h(4) = 2 h(2) = h(3) = 3 求滤波器的卷积结构。 解：
卷积结构如图P5-19所示:
z?1z?1z?1z?1 x(n) 2 3 3 1.5 2 图P5-19 5.25 FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周奇对称的，即 N = 7 h(0) = -h(6) = 3 h(1) = -h(5) = -2 h(2) = -h(4) = 3 h(3) = 0
求滤波器的卷积结构,试问这两题结构能否少用乘法器？ 解：
卷积结构如图P5-20所示：
x(n) 3 z?11.5 y(n) z?1-2 z?13 z?1z?1-3 z?12 z?1-33 y(n) 图P5-20
经分析，由于h(n)是圆周对称，可以利用此对称性来减少乘法器，改进的卷积结构如下：