12x?1x2?1(x2?2x?2)?(2x?1)???. 2222222(x?2x?2)(x?2x?2)x?2x?2(x?2x?2)现分别计算部分分式的不定积分如下：
dxd(x?1)??x2?2x?2?(x?1)2?1?arctan(x?1)?C1.
d(x2?2x?2)2x?1(2x?2)?1?(x2?2x?2)2dx??(x2?2x?2)2dx??(x2?2x?2)2???(x?1)d(x?1)2?1?2
??1dt?.
x2?2x?2?(t2?1)2由
递
推
公
式
（
7
）
,
求
得
其
中
dtt1dtx?11?????(t2?1)22(t2?1)2?t2?12(x2?2x?2)2arctan(x?1)?C2. x2?1x?33dx??arctan(x?1)?C. 于是得到 ?2222(x?2x?2)2(x?2x?2)二、三角函数有理式的不定积分
xR(sinx,cosx)dx是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换，可把它化t?tan?2xxx2sincos2tan22?2?2t, 为有理函数的不定积分。这是因为sinx?1?t22x2x2xsin?cos1?tan222（8）
x2x2x?sin1?tan21?t22?2? cosx?,2xxx1?t22sin?co2s1?tan222co2s(9)
dx?2dt, 21?t?2t1?t2 所以?R(sinx,cosx)dx??R??1?t2,1?t2?例3 求
?2??1?t2dt． ?1?sinx?sinx(1?cosx)dx
解 令t?tanx，将(8)、(9)、代人被积表达式， 21?2dt 2?1?t????2t21?sinx1?t?sinx(1?cosx)dx??2t?1?t2?1?21?t2?1?t?版权所有 翻版必究
?1?1?1?t21x1x2x????t?2??dt???2t?lnt?C?tan?tan?lntan?C.??2?t?2?242222?
例4 求
dx?a2sin2x?b2cos2x(ab?0).
dxsec2xd(tanx)解：由于?2, ?dx?222222222??asinx?bcosxatanx?batanx?b故令t?tanx,就有
dxdt1d(at)???a2sin2x?b2cos2x?a2t2?b2a?(at)2?b2 11at?a?arctan?tanx??C. arctan?C?ababb?b? ?三、某些无理根式的不定积分
?ax?b?ax?bn??dx型不定积分(ad?bc?0)．对此只需令t?n1.?Rx,，就可化
??cx?dcx?d??为有理函数的不定积分．
例5求
1?xx?2dx. x?2解：令t?x?22(t2?1)?8t,则有x?2,dx?2dt, 2x?2t?1(t?1)1?xx?24t22??2dx??dt??dt ???1?t21?t2?x?2(1?t2)(1?t2)??ln1?(x?2)/(x?2)1?tx?2?2arctant?C?ln?2arctan?C 1?tx?21?(x?2)/(x?2)例6 求
?(1?x)dx2?x?x12.
1(1?x)21?x，故令t?2?x解：由于
(1?x)2?x?x2?1?x，则有
2?x2t2?16tx?,dx?dt,
1?t2(1?t2)2?(1?x)dx2?x?x2??1(1?x)21?xdx2?x
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(1?t2)26t2222?x???t?dt?dt???C???C ?3t23t31?x9t4(1?t2)2
第四章 不定积分
一、知识网络图
二、内容与要求
内容与要求：
1. 原函数的概念：如果在区间
，那么
就称为
内，可导函数
在区间
的导函数为上的原函数。
，即对任一，都有
2. 不定积分的定义：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的
不定积分，即, 式中为任意常数。
理解和掌握不定积分的基本性质，基本积分表和各种积分方法，如凑微分法、变量替换法、分部积分法、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。
重点：各种基本积分方法。 难点：分部积分法。
三、概念、定理的理解与典型错误分析
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正确理解原函数与不定积分的关系是十分重要的。
例1 设，求.
解 由原函数的定义得：， 解得 故
.
例2 设
，求
是.
的一个原函数，当时，且又
解 因是的一个原函数，故. 由已知条件得
，改写成微分形式: ，两边积分得
，由解得，所以
不定积分的典型错误常见有下列几种情况：
（1）该加绝对值的时候没有加；（2）任意常数忘了加上；（3）被积函数出现绝对值时处理错误；（4）分段函数的积分常常搞错。下面一一举例加以说明。
例3 求.
典型错误：分析：题目给出的虑
的情形。当
的定义域是
时，
，而上述做法只考虑了
的情形，还须考
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正确做法是：把两种情形合并起来得
例4 求典型错误：
故
分析：移项之后，任意常数了，没加就应该把
好象没有了。事实上，利用分部积分公式，前面已有不定积分积出来
，而现在要把最后一个积分移到左边去，移项之后，
的原因是指望最后一个积分积出后再添加上。正确答案为
例5 求
典型错误：由 得
错误原因：
是连续函数
的原函数，故在任一点都是连续可导的，当然在
点的左右极限不相等，正确的答案为：
处也连续。显然所给出的函数在
因在
点的左右极限相等，推出
，即
，
故
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