（i） 令
（ii）（iii）（iv）
令 令 令
（v）倒代换 令 ，消去被积函数分母中的因子。
例28 求 （，整数）的递推公式。
解
=
=
=
所以 ，其中
例29 求解 令
，则有
从而有
由此可见，使用分部积分法的关键在于适当选出被积表达式中的
和
，使得
中右边的不定积分容易求出。如果选择不当，可能反而会使求不定积分更加复杂.如在例29中取
. 就有
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这样，右端的不定积分显然比左端更难求得.
.
例30 求 与
解
经相互代入，移项整理后即得
类似的，下列类型的积分，通常可用分部积分来计算：
其中
，
为自然数.
例31 求不定积分
分析：计算有理函数的积分可分为两步进行。第一步：用待定系数法或赋值法，将有理
分式化为简单分式之和；第二步：对各简单分式分别积分。其中把被积函数变成部分分式是关键。此题先将分母分解因式再把被积函数化成部分分式。
解 因为
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通分比较系数得：
所以 ： =
=
例32 求
分析：三角有理函数的积分，一般都可以通过“万能代换”化为有理函数的积分进行计算。
解 （方法一）令，则 ，
于是 = =
= =
= =
（方法二） = =
= =
=
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总结：
（1）三角有理函数的积分但计算起来比较麻烦；
，一般利用将其转化为有理函数的积分，
（2）做题时要注意分析被积函数的特点，通常是采用变量代换和三角公式简化积分。
例33 求.
解 由于故令
，就有
在此例中如果仍令，则不如上法简单。通常当被积函数是，及
的有理式时，通常采用
的变换。
往往较为简便。其他情形可因题而异，选择较为合适
例34 求
解
其中 并设
例35 求解 令
，则
，
，
于是 = = =
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= =
例36 求解 令
，则
，
，
于是 = =
= =
=
例37 求
解 由于 故令，有 ，
所以
（本题也可令 总结：
来求解，读者不妨一试）。
（1）无理函数的积分，基本方法是通过适当的变量代换，将无理函数有理化，从而化成有理函数的积分。
（2）根据不同的问题，要善于选择简便积分法。
例38 已知的一个原函数是，求
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