例6 设 及，求
典型错误：设，则
积分得 由，得
的不同的取值范围，任意
错误原因：因为被积函数是连续的，原函数必定连续可导，所以，对于
常数应该是不一样的，否则连续性得不到保证。正确的答案为：
由假定
，得
再由
在
的连续性得
，从而得
. 故
四、解题方法与题例
首先要记住教材中列出的十几个不定积分公式，还要记住下列重要的不定积分公式：
1． ；
2． ；
3． ；
4． ；
5． 6．
；
；
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7．8．9．
；
； ；
其次要理解和掌握求不定积分的四种基本方法。
1. 直接积分法：直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。 2. 换元积分法：
（1）第一类换元法（凑微分法）：
设具有原函数可导，那么是的原函数，
即有换元公式：
（2）第二类换元法（变量置换法）：
设是单调、可导的函数，并且，又设具有原函数，则
是的原函数（其中是的反函数），即有换元公式：
=
=
=
注意：求出后，必须用
存在且是单值可导的，为此，
的反函数
在t的某一区间（该区间与
代回去，故要求的积分区间相对应）上
应该是单调、可导的函数，且
3. 分部积分法
设函数及具有连续导数,则有分部积分公式：。
4. 特殊类型函数的不定积分
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（1）有理函数的积分：，其中与为多项式；
（2）三角函数有理式的积分：（3）简单无理函数的积分。
；
不定积分最重要的方法与技巧是凑微分法和分部积分法，下面举例加以说明。
（1）型
例1 求
解 原式=
例2 求 .
解 原式=
（2）凑微分法和分部积分法结合起来解题。
.
例3 求
解 原式=
（3）有的函数的原函数不是初等函数，但是通过分部积分能抵消这一积分，此方法很重要。
例4 求
解 原式=
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例5 求解 （降幂法）
.
注：适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型：
，
例6 求
.
，，其中为某一次多项式.
解 （升幂法）令 ，，于是 ，，因而
.
例7 求解 （升幂法）
.
而
，
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.
注：适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型：
，，（
为正整数）.
，，
例8 求解 （循环法）
.
，
于是得到
.
例9 求解 （循环法）
.
，
同理得到
注：适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型：
，，或类似于例8，例9那样的积分.
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