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6．整体思想解方程组． （1）整体代入．如解方程组??3(x?1)?y?5 ①?5(y?1)?3(x?5) ②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的
（3x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的解．
?1x+3y?19 ①?3（2）整体加减，如?因为方程①和②的未知数?1?3x+y?11 ②?3?x、y的系数正好对调，所以可采用两
个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①
得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y． 7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．
8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．
（二）：【课前练习】
1. 若(3?2x)∶2＝(3?2x)∶5，则x＝ 。
2. 如果
2x?32与x?3的值互为相反数，则x＝ 。 533. 已知??x?1?ax?by?12是方程组?的解，则a?b＝ 。
?y??1?4x?by?24?2m?14. 若单项式ab2m2m?7与?ab是同类项，则m＝（ ）
3 A.2 B.±2 C.－2 D.4 5. 已知方程组??5x?y?3?x?2y?5与?有相同的解，则a、b的值为（ ）
?ax?5y?4?5x?by?1?a?1?a??4?a??6?a?14A、? B、? C、? D、?
b?2b??6b?2b?2????二：【经典考题剖析】
x?37x??1 1. 解方程：2(x?1)?32k(x?3)k(x?2)1?2x?3x?2. 若关于x的方程：10?与方程5?2(x?1)?的解相同，求k的值。 543龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 16 -
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3. 在代数式ax?by?m中，当x?2,y?3,m?4时，它的值是零；当x??3,y??6,
m?4时，它的值是4；求a、b的值。
4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种
解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（x、y为非负数），则有：
2x?y?10?y?10?2x，0?x?5且x为整数?x?0、1、2、3、4、5。
5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。
（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；
（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。 略解：（1）设CE线长为x千米，列方程可得x＝0.4。
11.2（2）分A→D→C→B→E→A环线和A→D→C→E→B→E→A
?D?Cx环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，
?故先后者。 E0.4? 1.6B 1? A问题二图
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§8 一元二次方程
（一）：【知识梳理】
1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它
的一般形式是 （其中 、 ）
它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有
实数根；当△＜0时，方程有 实数根；
一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方
2
法解一元二次方程：ax＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程
两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m)2=n的形式；⑤如果n?0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2?4ac?0)
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二
22
次方程．如关于x的方程（k－1）x+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、
222
c的值；③求出b－4ac的值；④若b－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b－4a＜0，则方程无解．
2
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
（二）：【课前练习】
1. 用直接开平方法解方程(x?3)?8，得方程的根为（ ）
A. x?3?23 B. x1?3?22,x2?3?22 C. x?3?22 D. x1?3?23,x2?3?23 2. 方程x(x?1)?0的根是（ ）
A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1
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3. 设(x?1)(x?2)?0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x1?2x2＝ 。 4. 已知关于x的方程4x?4kx?k?0的一个根是－2，那么k＝ 。
224x? ＝(x?________)2 3二：【经典考题剖析】
5.x?2 1. 分别用公式法和配方法解方程：2x?3x?2
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关
键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）7(2x?3)2?28； （2）y2?2y?399?0
（3）2x?1?25x； （4）(2x?1)2?3(2x?1)?2?0
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
222223. 已知(a?b)?(a?b)?6?0，求a?b的值。
2222 分析：已知等式可以看作是以a?b为未知数的一元二次方程，并注意a?b的值应为非负数。 4. 解关于x的方程：(a?1)x?2ax?a?0
22222分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a＝1时，是一元一次方程；当a≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。
5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．
2
已知：m是关于x的方程mx －2x＋m＝0的一个根，求m的值．
32
解：把x=m代人原方程，化简得m=m，两边同时除以m，得m =1，所以m=l，
把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．
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