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§9 分式方程及应用
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出
现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。
（二）：【课前练习】
11?x??1的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） 1. 把分式方程
x?22?xA．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
23??2的根是（ ） xx?111 A.－2 B. C.－2， D.－2，1
2212mx?13. 当m=_____时，方程?2的根为
m?x22. 方程4. 如果
AB5x?4，则 A=____ B＝________. ??2x?5x?2x?3x?10ax?1??3有增根，则增根为_____，a=________. x?2x?25. 若方程
二：【经典考题剖析】
2xx52?x11 1. 解下列分式方程： （）1??1；（2）??1；（ 3）??；xx?32x?55?2xx?32x?3x?2x2?13(x?1)1??1??（4）x??；（5）?2?4；（6）2?x2?2??3?x???1 分析：
x?22?xx?1x?1x??x??（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别
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1x2?1设y?，y?x?，解后勿忘检验。
xx?1
?1111???A?B??xy3?11??32. 解方程组：? 分析：此题不宜去分母，可设＝A，?＝B得：?，用根与系
xy?A?B??2?1?1?2??9??xy9数的关系可解出A、B，再求x、y，解出后仍需要检验。
3. 若关于x的分式方程
2m6?x??2有增根，求m的值。 x?2x?2x?4
4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，
3
而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m，求该市今年居民用水的价格．
33
解：设市去年居民用水的价格为x元／m，则今年用水价格为(1+25％) x元／m．根据题意，得
3618??6， 解得x=1.8
(1?25%)xx 经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1?25%)x?2.25 ．
答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意
3
找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m.
5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？
略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x?60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。 龙文教育——您值得信赖的专业个性化辅导学校（咨询电话：63831293） - 22 -
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§10 方程及方程组的应用
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1.列方程解应用题常用的相等关系
题型 工作 （工程） 问题 比例问题 年龄问题 利息 问题 行程问题 基本量、基本数量关系 工作量、工作效率、工作时间 把全部工作量看作1 工作量=工作效率3工作时间 寻找思路方法 相等关系：各部分工作量之和=1 常从工作量、工作时间上考虑相等关系 相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为x，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。 甲:乙:丙=a:b:c 大小两个年龄差不会变 本息和、本金、利息、利率、期相等关系： 数关系：利息=本金3利率3期数 本息和=本金+利息 1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程 2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程 1：与追击、相遇问题的思路方法类似 2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。 1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。 2：常常设间接未知数。 首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。 追击路程、速度、时间的关系： 问题 路程=速度3时间 相遇同 问题 上 顺水（风）速度=静水（风）速度航行+水流（风）速度 问题 逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度 多位数的表示方法：abc是一个多位数可以表示为a?10?b?10?c（其中0＜a、b、c＜10的整数） 商品利润=商品售价－商品进价 2 数字问题 商品利 润 率问题 商品利润率=商品利润?100%商品进价 2.列方程解应用题的步骤:
（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；
（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程； （4）解方程；
（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意； （6）答：注意带单位．
（二）：【课前练习】
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1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则
该商品的进货价是
2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元 3. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇 万美元
4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为
5. 一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给
22
学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m－1)元（m为正整数，且m－1>100）；
2
如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，
则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元
二：【经典考题剖析】
1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，?如果甲乙二人分别从A、
B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，?求甲乙二人 的骑车速度．
2. 某市为了进一步缓解交通拥堵现象，?决定修 建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．为使工 程能提前3?个月完成，?需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
3. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
4. 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，?入场券分为团体票和零售票，
其中团体票占总票数的共售出团体票数的
2．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体票每张12元，33，零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每5张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
2
5. 要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？
F CAB
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§11 一元一次不等式
（一）：【知识梳理】
1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。
2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号的 ．（2）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的 ．（3）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的方向 ．
3．不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式 的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．
7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的步骤：① ，② ，③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题）
9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．
10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集．
12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 13．一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即
这个不等式的解。（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。）
14.不等式组的分类及解集(a＜b）．
（二）：【课前练习】
1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A.-2>-5 B.x>4 C.xy>0 D.
2
x–x< -1 22．下列说法正确的是（ ）
A.不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；
B.不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变； C.不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；
D.不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（ ） A.0 B.－3 C.－2 D.－1 4. 不等式2x≥x+2的解集是_________． 5. 把不等式组??x+1>0的解集表示在数轴上，确的是图中的（ ）
?x-1?0
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