60【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为1.5米/小时）。
a=a40=4060（千米/小时），乙车的速度为1.5?0.5=60（千
根据题意，得60?1?0.5，解得a=180（千米）。
180?1=180x，解得x=90。
（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则60 经检验，x=90是方程的解并符合题意，
∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。 甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：
【考点】一次函数和方程的应用。
【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。 根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。 应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0），
由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：
s甲?40，t乙s?60?t。
3 设N（t，a），P（t＋1，a）），代入函数关系式，得
?a?40?t+?1??t?3.5??a?60?t30a?180?? ，解得?。
180（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程60?2+0.5=18040+180x求解）。
应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离
180地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为60?2+0.5=6.5。
若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为
6.5?18040=2（小时）。
∴甲车返回时的速度为180÷2=90（千米/小时）。
根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。
11. （2012广东河源7分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知
警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶的时间x(小时)的函数关系的图象是如图所示的直线l的
一部分．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)如果警车要回到A处，且要求警车的余油量不能少于10升，那么警车可以以行驶到离A处的最远 距离是多少？
【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得
?k+b=45?k=?6??3k+b=42b=60 ?，解得?。
∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。
25（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤3。
60?253?12=250∴警车最远的距离可以到：千米。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。 （2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。
12. （2012广东河源9分）(1)已知方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．
(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为
何值时，d2取得最小值并求出该最小值．
【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，
x1?x2??ba=?p，x1?x2?ca=q∴。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。 ∵d=|x1﹣x2|， ∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。
∴当p=2时，d 2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】
（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。
13. （2012福建南平10分）某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元，已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生． 设该乡镇现有小学生x人．
（1）用含x的代数式表示：
该乡镇小学生每天共需营养补助费是 元．
该乡镇初中生每天共需营养补助费是 元．
（2）设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元，问小学生、初中生分别有多少人？
【答案】解：（1）小学生每天所需营养费=4×2%x+3（1－2%）x=3.02x； 中学生每天所需营养费=5×2%（1000-x）+3×（1－2%）（1000－x）=3040－3.04x。 （2）根据题意得y=3.02x＋3040－3.04x=3040－0.02x。 （3）令y=3029，即3040－0.02x=3029，解得：x=550 1000－550=450。
答：小学生有550人，中学生有450人。
【考点】列代数式，一元一次方程和一次函数的应用。
【分析】（1）用普通学生的费用加上困难学生的费用即可求得中小学生需要的营养补助费。 （2）将（1）题中的两个相加即可求得总营养费与学生数之间的函数关系式。
（3）令y=3029即可求得学生数。 14. （2012福建龙岩12分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A
型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B
型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题:
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求
出最少租车费．
【答案】解：（1）设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨，
?2x?y?10 ?x?3 ??x?2y?11根据题意得出，?，解得：?y?4。
答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨。 （2）∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴3a+4b=31。则
?a?0??31?3a1b=?00?a?10?4?3。 ，解得：
∵a为整数，∴a=1，2，…10。
b=31?3a4=7?a+3+a4为整数，∴a=1，5，9。
又∵
∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1。
∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1。
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次， ∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元； 当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元； 当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1020元。
∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少。 答：最少租车费为940元。
【考点】二元一次方程组、不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆
B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可。
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案。
（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
分别求出租车费用即可。
15. （2012福建三明10分）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元． （1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品
件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）
【答案】解：（1）设A种商品销售x 件，则B种商品销售（100－x）件. 依题意，得10x＋15（100－x）=1350，
解得x=30。∴ 100- x =70。
答：A种商品销售30件，B种商品销售70件。 （2）设A种商品购进x 件，则B种商品购进（200－x）件。 依题意，得0≤ 200－ x ≤3x，解得 50≤x≤200 。
设所获利润为w元，则有w=10x＋15（200－ x）= － 5x +3000 。 ∵－5＜0，∴w随x的增大而减小。
∴当x=50时，所获利润最大，最大利润为－50×50＋30000=2750 200－x=150。
答：应购进A种商品50件，B种商品150件，可获得最大利润为2750元。 【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 销售A种商品的利润＋销售B种商品的利润=1350元
10x ＋ 15（100－x） =1350。
（2）根据购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍列出不
等式求出购进A种商品数量的范围；列出利润关于A种商品数量的函数关系式，根据函数的性质求得结果。
k2
16. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2
x ＞0）的交 点．
（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标；
k2（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）于点
x N．当
PN1
取最大值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式． NE2
k2
【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝（k2＞0）上，
x ∴ c＝k2＝3d 。 ∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。
∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。 ∴ AM＝3d。
过点B作BT⊥AM，垂足为T。 ∴ BT＝2，TM＝d。 ∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。
在Rt△BTM中，TM 2＋BT2＝BM2，即 d2＋4＝9d2，∴ d＝∴点B(3，2)。 2
2。 2
k2
（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点，
x ∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。 14∴k1＝－k2，b＝k2。
33
∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限，
∴ 点P在第一象限。设P（x，k1x＋b）， PEk1x＋bk1b14∴＝ ＝x2＋x＝－x2＋x。 NEk2k2k233
x