2014年高考 圆锥曲线综合 (理科)
2014年高考圆锥曲线（理科）
考试说明 1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
3．了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质. 4．能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题. 5. 理解数形结合的思想. 6．了解圆锥曲线的简单应用. 考点扫描 （一）椭圆
※1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 即：设P为动点，满足
|PF1|?|PF2|?2a?||F1F2|，于是P点的轨迹即为椭圆.
※2. 椭圆的方程 ⑴标准方程 中心在原点，
x2y2x2y2焦点在x轴上：2?2?1；焦点在y轴上：2?2?1 (其中a?b?0).
abba(2)参数方程:
x2?y2b2?x?acos??1的参数方程为??y?bsin?
a2※3.椭圆常用那个性质 ①顶点：(?a,0)(0,?b) 或(0,?a)(?b,0).
②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b
③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤离心率：e?c，（0?e?1). a※4．椭圆图示：
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（二） 双曲线 ※1.双曲线定义
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线 即MF1?MF2?2a.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做
焦距 ※2. 双曲线标准方程
中心在原点
x2y2
焦点在x轴上，2－2＝1(a＞0，b＞0)；
ab
y2x2
焦点在y轴上，2－2＝1(a＞0，b＞0)．
ab ※3. 双曲线常用性质
①顶点：(a,0),(?a,0).
②轴：对称轴：x轴，y轴；实轴长2a. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：|F1F2|?2c,c?⑤渐近线：
a2?b2..
yxyx??0或??0. abab⑥离心率： e?※4．双曲线图示：
c，（e?1). a
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(三) 抛物线
※1. 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 ※2．抛物线的准线方程：
设p>0，则抛物线的标准方程如下：
(1)y?2px(p?0), 焦点:(pp,0)，准线l：x?? 22pp2(2)x?2py(p?0), 焦点:(0,)，准线l：y?? 22pp2(3)y??2px(p?0), 焦点:(?,0)，准线l：x? 22pp2(4) x??2py(p?0), 焦点:(0,?)，准线l：y? 222※3．抛物线图示： DyMyyMKO(1)FxMxDDOyKOxFOF(3)KxM(4)DF(2)KD （四）圆锥曲线与直线
1．直线与圆锥曲线的位置关系
可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判 断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
??Ax＋By＋C＝0由?消元， ?f?x，y?＝0?
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲 线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)． (2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
①Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； ②Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； ③Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长 |P1P2|＝?1＋k?[?x1＋x2?－4x1x2]?1?k222b2?4ac??1?k2 |a||a|b2?4ac1??1?2.
|a|k|a|或|P1P2|＝ ?1＋12?[?y1＋y2?2－4y1y2]?1?1?k?k2版权所有 请勿传播 kxgkmath@163.com - 3 - 2014年高考 圆锥曲线综合 (理科)
感悟真题样卷 2.【2012浙江真题(理)21】
1x2y2如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不
ab2过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． (Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．
解： (Ⅰ)由题：e?c1?； (1) a2左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：d?(2?c)2?12?10． (2) 由(1) (2)可解得：a2?4，b2?3，c2?1． x2y2∴所求椭圆C的方程为：+?1．
4311(Ⅱ)直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．
22∵A，B在椭圆上， ?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4yA?yB3x?xB32x3???A???0??．
xA?xB4yA?yB42y02?kAB?3设直线AB的方程为l：y＝﹣x?m(m≠0)，
2?x2y2+?1??43代入椭圆：??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．
显然??(3m)2?4?3(m2?3)?3(12?m2)?0． ∴﹣12＜m＜12且m≠0．
m2?3由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝．
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∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kAB(xA?xB)?4xAxB＝1?kAB2m2． 4?3∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：d?m211∴S?ABP＝d|AB|＝|m＋2|4? 322?3?1?m1?kAB?m?21?kAB．
=3(m?4)2(12?m2)(m?[?23,0)?(0,23]， 622 令u(m)?(12?m)(m?4)，则
u'(m)??4(m?4)(m2?2m?6)??(m?4)(m?1?7)(m?1?7)
所以当且仅当m?1?7,u(m)取到最大值. 综上,所求直线l的方程为3x?2y?27?2?0.
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