2014年高考 圆锥曲线综合 (理科)
8. 【2011浙江样卷（理）21】
已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
32的椭圆经过(2,). 22(I) 求椭圆的方程;
(II) 设不过原点O的直线l与该椭圆相交与P,Q两点,且满足OP,PQ,OQ的斜率依次成等
比数列,求?OPQ的面积的取值范围.
解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为
x2a2?y2b2?1 (a＞b＞0)，则??c?a2?21???1,2?2b2?a?3,
?a?2,x2故? 所以，椭圆方程为 ?y2?1．
4?b?1.(Ⅱ) 由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由??y?kx?m,22?x?4y?4?0,22
消去y得 (1＋4k)x＋8kmx＋4(m－1)＝0，
22
2
2
2
222
则Δ＝64 kb－16(1＋4kb)(b－1)＝16(4k－m＋1)＞0， 且x1?x2??8km1?4k2，x1x2?4(m2?1)1?4k2
2．
2
故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m． 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
kx1x2?km(x1?x2)?m2
所以 y1?y2＝＝k，
x1x2x1x2即
?8k2m21?4k222＋m＝0，又m≠0，所以 k＝
22
11，即 k＝?． 422
2
由于直线OP，OQ斜率存在，且Δ＞0，得0＜m＜2 且 m≠1（由于等比数列得到）． 设d为点O到直线l的距离，则 S△OPQ＝
1122d | PQ |＝| x1－x2 | | m |＝m(2?m)， 22所以 S△OPQ的取值范围为 (0，1)． ▍
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9. 【2012浙江样卷（理）21】
如图，椭圆C: x 2＋3 y 2＝3b2 (b＞0). (Ⅰ) 求椭圆C的离心率；
(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝3，
求△AOB面积的最大值.
O y A B x
x2y2解：(Ⅰ)由x＋3y＝3b得 2?2?1，
3bb2
2
2
3b2?b22c6所以e＝＝＝＝．
233a3b(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．
33133，)，此时S＝??3＝； 22224如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(?y?kx?m,2 2由?2 得x＋3(kx＋m)＝3， 2x?3y?3,?即 (1＋3k)x＋6kmx＋3m－3＝0，又Δ＝36km－4(1＋3k) (3m－3)＞0，
6km3m2?3所以 x1＋x2＝－，x1 x2＝， 221?3k1?3k2
2
2
22
2
2
12(1?3k2?m2)(x1－x2)＝(x1＋x2)－4 x1 x2＝， ①
(1?3k2)22
2
由 | AB |＝(1?k2)(x1?x2)2及 | AB |＝3得 (x1－x2)＝
2
3， ② 1?k22
2
(1?3k2)2|m|结合①，②得m＝(1＋3k)－．又原点O到直线AB的距离为，
24(1?k2)1?k1所以S＝?22
|m|1?k2?3，
(1?3k2)23m231?3k2311?3k22
因此 S＝?＝[－]＝[－(－2)＋１] ??222224(1?k)41?k41?k441?k31?3k2332
＝－?(－2)＋≤， 2161?k441?3k23333故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S ．▍ max＝22221?k4
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10. 【2013浙江样卷（理）21】
x2y22 如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：2?2?1(a＞0)的左、右焦点，直线
2ab1 l：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线
2 段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
??????????(Ⅱ) 求F2P?F2Q的取值范围．
12＝1，所以c＝1因为离心率e＝2，所以a＝2． 解:(Ⅰ) 设F2(c，0)，则
123c?2c?x2所以椭圆C的方程为?y2?1．
2(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－
??????????此时P(?2，0)、Q(2,0) ,F2P?F2Q??1．
1，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 21， 2当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，
M(－
?x12?y12?1,?y?y2?2由 ?2 得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)?1＝0，
x?x12?x2?y2?1,2??2则－1＋4mk＝0， 故k＝
1． 4m此时，直线PQ斜率为k1??4m，PQ的直线方程为
1y?m??4m(x?)．即y??4mx?m．
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?y??4mx?m?联立?x2 消去y，整理得 2??y?1?2(32m2?1)x2?16m2x?2m2?2?0．
16m22m2?2所以x1?x2??，x1x2?． 2232m?132m?1于是F2P?F2Q?(x1－1)(x2－1)＋y1y2
?x1x2?(x1?x2)?1?(4mx1?m)(4mx2?m)
?(1?16m2)x1x2?(4m2?1)(x1?x2)?1?m2
(1?16m2)(2m2?2)(4m2?1)(?16m2) ???1?m2 2232m?132m?119m2?1 ?． 232m?1令t＝1＋32m，1＜t＜29，（M在椭圆内）则
F2P?F2Q?1951． ?3232t2
又1＜t＜29，所以
??????????125． ?1?F2P?F2Q?232125综上，F2P?F2Q的取值范围为[?1，）．▍
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基本试题归类 类型一 有关弦长最大值问题
1. 【浙江省2012年宁波市效实中学高三测试 数学（理科）】
x2y22 已知点F,E分别是椭圆C：2?2?（,且椭 1a?b?0)的左焦点和上顶点,离心率e?2ab圆C经过点(23,). 22(I)求椭圆C的方程;
(II)平行于EF的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线通过点Q(x0,0),求 ?QAB的面积的最大值.
〖简答〗
2. 【浙江省普通高等学校2012届高三招生适应性考试数学（理）】
2x2y2xy设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?右焦点到直线??1的距离
2ababd?
6?3O为坐标原点.
3，
（Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明点O到直线
AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．
〖简答〗
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