2014年高考 圆锥曲线综合 (理科)
3.【2011浙江真题(理)21】
已知抛物线C1:x＝y，圆C2:x?(y?4)?1的圆心为点M （Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线
222C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程
解：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为： y??所以圆心M（0，4）到准线的距离是
2221, 417. 4（II）设P(x0,x0),A(x1,x1),B(x2,x2)，则题意得x0?0,x0??1,x1?x2，
设过点P的圆C2的切线方程为y?x0?k(x?x0)，即y?kx?kx0?x0 则2|kx0?4?x0|222?1,即(x0?1)k2?2x0(4?x0)k?(x0?4)2?1?0，
22 ①
1?k2设PA，PB的斜率为k1,k2(k1?k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以
222x0(x0?4)(x0?4)2?1k1?k2?,k1k2?. 22x0?1x0?12?0,由于x0是此方程的根，故x1?k1?x0,x2?k2?x0， 将①代入y?x2得x2?kx?kx0?x0所以kAB2222x0(x0?4)x0?4x12?x2??x1?x2?k1?k2?2x0??2x,k?. 0MP2x1?x2x0?1x0222x0(x0?4)x0?4?(?2x)?(??1)， 02x0?1x0由MP?AB，得kAB?kMP解得x0?22323311523,)，所以直线l的方程为y??x?4. ,即点P的坐标为(?551155版权所有 请勿传播 kxgkmath@163.com - 6 - 2014年高考 圆锥曲线综合 (理科)
4.【2010浙江真题(理)21】
m2x22已知m＞1，直线l:x?my??0，椭圆C:2?y?1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
2m（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，?AF1F2， ?BF1F2的重心分别为G,H.若原
点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
m2m222解：（Ⅰ）因为直线l:x?my?,得m2?2， ?0经过F2(m?1,0)所以m?1?22又因为m?1，所以m?2，故直线l的方程为x?2y?1?0.
（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)。
?m2x?my??m2?22?1?0 由?2，消去x得 2y?my?4?x?y2?1??m2m2 则由??m?8(?1)??m2?8?0，知m2?8，且有
42mm21?. y1?y2??,y1?y2?282由于F1(?c,0),F2(c,0),，于是重心G(x1y1xy,),H(2,2), 3333xxyy进而,G,H直径的方程为 (x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?0,所以要使原点在此圆
3333m2m2m212）(?) 内部,即x1x2?y1y2?0于是x1x2?y1y2?(my1?)(my2?)?y1y2 ?(m?12282m21??0即m2?4又因为m?1且??0 所以1?m?2.▍ 所以
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5. 【2009浙江真题(理)21】
y2x2已知椭圆C1:2?2?1（a?b?0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直
ab长轴的弦长为1.
（I） 求椭圆C1的方程；
（II）设点P在抛物线C2:y?x?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，
2N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值. ?b?12a?2?y?解：（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，
4?2??1?b?1?aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t?h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为
2y?x?t?2t，直线MN的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，
222得4x?(2tx?t?h)?4?0，即41?t?2?x2?4t(t2?h)x?(t2?h)2?4?0，
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有
422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0，
x1?x2t(t2?h)?设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?，22(1?t2)设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
t?1，由题意得x3?x4， 22即有t?(1?h)t?1?0，其中的?2?(1?h)?4?0,?h?1或h??3； ①当h??3时有h?2?0,4?h?0，因此不等式
422?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0不成立；
2②因此h?1，当h?1时代入方程t?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1 代入不等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0成立，因此h的最小值为1．
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6. 【2008浙江真题(理)21】
已知曲线C是到点P(?,)和到直线y??13285距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0） 8的直线，M 是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA?l,MB?x轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
|QB|2（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数.
|QA|
解：（I）解：设N(x,y)为C上的点，则
13|NP|=(x+)2?(y?)2．
28N到直线y??的距离为y?化简，得曲线C的方程为y?58123255． 由题设得(x+)?(y?)?y?．
288812(x?x)． 2x2?x)，直线l：y?kx?k，则B(x,kx?k)， （II）设M(x,2从而
QB?1?k2x?1．在Rt△QMA中，因为
x(x?1)2(k?)2x222． QM?(x?1)2(1?)， MA?241+k2x?1?kx?2(x?1)22QA?(kx?2)所以 QA?QM?AM?， 224(1?k)21?k222QBQB2(1?k2)1?k2x?1?55 当k＝2时，??2QAQAkx+k22从而所求直线l方程为2x?y?2?0
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7. 【2007浙江真题(理)21】
x2如图，直线y?kx?b与椭圆记△AOB 的面积为S． ?y2?1交于A，B两 点，
4（I）求在k?0，0?b?1的条件下，S的最大值； （II）当AB?2，S?1时，求直线AB的方程．
y A O x B
解：（I）设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)．
x2由?y2?1，解得x1,2??21?b2
4所以S?1b|x1?x2|?2b1?b2?b2?1?b2?1 22时，．S取到最大值1． 2当且仅当b??y?kx?b?222(4k?1)x?8kbx?4b?4?0 （Ⅱ）由?x2得2??y?1?4??16(4k2?b2?1) ①
｜AB｜＝1?k|x1?x2|?1?k2216(4k2?b2?1)?2 ②
4k2?1又因为O到AB的距离d?|b|1?k242?2S?1 所以b2?k2?1 ③ |AB|③代入②并整理，得4k?4k?1?0 解得，k?2123,b?，代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是 22y?26262626x?x?x?x?或y?或y??或y??▍ 22222222版权所有 请勿传播 kxgkmath@163.com - 10 -