11?1?MD=?MB=?DB=?a+b
222例三、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：OA+OB+OC+OD=4OE 证：∵E是对角线AC和BD的交点 ∴AE=EC=?CE BE=ED=?DE
A D O E B C
在△OAE中 OA+AE=OE
同理：OB+BE=OE OC+CE=OE OD+DE=OE 以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE
例四、(P107 例五)如图，OA，OB不共线，AP=tAB (t?R)用OA,OB表示OP 解：∵AP=tAB ∴
P OP=OA+AP=OA+ tAB
O A B =OA+ t(OB?OA)
=OA+ tOB?tOA
=(1?t) OA+ tOB
四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表
示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业： 课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7
第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课 目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本
定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，
第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实
质）
二、处理《教学与测试》
????aa1．当λ?Z时，验证：λ(+b)=λ+λb
????证：当λ=0时，左边=0?(a+b)=0 右边=0?a+0?b=0 分配律成立 当λ为正整数时，令λ=n, 则有： ????????n(a+b)=(a+b)+(a+b)+?+(a+b)
?????????=a+a+?+a+b+b+b+?+b=na+nb 即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=?n（n为正整数），有
???????????n(a+b)=n[?(a+b)]=n[(?a)+(?b)]=n(?a)+n(?b)=?na+(?nb)=?n
??a?nb
分配律仍成立
????综上所述，当λ为整数时，λ(a+b)=λa+λb恒成立 。
??2．如图，在△ABC中，AB=a, BC=b AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量AG
??11? 解一：∵AB=a, BC=b 则BD=BC=b
22A ?1?2∴AD=AB+BD=a+b而AG=AD
23a 2?1?∴AG=a+b
33b D CB
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
A 22?AB=a AE=33a E
Gb D
F
B
C
11? EG=EF=b
232?1? ∴AG=AE+EG=a+b
33???? 3．在 ABCD中，设对角线AC=a，BD=b试用a, b表示AB，BC 1?11? 解一：AO=OC=a BO=BD=b
2221?1?D ∴AB=AO+OB=AO?BO=a?b
221?1? BC=BO+OC=OC+BO=a+b
22A 22?EF=BC=b
33CO B
解二：设AB=x，BC=y
?1??则AB+BC=AC x+y=a ∴ x=(a?b)
2? AD?AB=BD x?y=b
1??y=(a+b) 21??1?? 即：AB=(a?b) BC=(a+b)
22 4．设e1, e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,
CD=2e1?e2, 若三点A, B, D共线，求k的值。 解：BD=CD?CB=(2e1?e2)?(e1+3e2)=e1?4e2
∵A, B, D共线 ∴AB,BD共线 ∴存在λ使AB=λBD
?2??即2e1+ke2=λ(e1?4e2) ∴? ∴k=?8
k??4??5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB
????aa中点，设AD=, AB=b，试以, b为基底表示DC, BC, MN
11? 解：DC=AB=b
22连ND 则DC╩ND
∴
D NM O MC
A B
?1?BC=ND=AD?AN=a?b
2 又11?DM=DC=b
24 ∴
：
MN=DN?DM=CB?DM=?BC?DM
?1?1?1??=(?a+b)?b=b?a
2446．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳
与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的力？ 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?
|OP|=1 (kg) ?P1OP=60? ?P2OP=30? ∴|OP1|=|OP|cos60?=1?
1=0.5 (kg) 230? 60? P1 |OP2|=|OP|cos30?=1?
3=0.87 (kg) 2P2 P
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg 三、作业：《教学与测试》67、68课练习
第八教时
教材：向量的坐标表示与坐标运算
目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。 过程：一、复习：1．复习向量相等的概念
O y
A
C ? 自由向量 aOA=BC
B x ? 2．平面向量的基本定理（基底） a=λ
1e1+λ2e2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不
共线向量的线性组合。 二、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
?取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，
??记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标
? A 如：a=OA=(2, 2) i=(1,
y
0)
c O ?a b B bx ?=OB=(2, ?1)
j=(0, 1)
C c=OC=(1, ?5)
j=(0, 0)
2．注意：1?每一平面向量的坐标表示是唯一的；
2?设A(x1, y1) B(x2, y2) 则AB=(x2?x1, y2?y1) 3?两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．例一：(P109)略 三、平面向量的坐标运算
??????1．问题：1?已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，a?b的坐标
??2?已知a(x, y)和实数λ, 求λa的坐标
??2．解：a+b=(x1i+y1j)+( x2i+y2j)=(x1+ x2) i+ (y1+y2) j
??即：a+b=(x1+ x2, y1+y2) ??同理：a?b=(x1? x2, y1?y2)
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵AB=OB?OA=( x2, y2) ? (x1, y1)
? 4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x, y) 实数λ
A(x1,y1)
y B(x2,y2)
O
x = (x2? x1, y2? y1)