f??N??mgcos?
当?mgcos??mgsin?即??tan?时货物下
滑
f mgsin? ??arctan0.3?16?42'
mgcosmg ? ??tan? 0.3?tan?
16?42'?6?20'?23?02'
在△ABC中: BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC
?1.952?1.402?2?1.95?1.40?cos23?02'?10.787 BC?3.28
例三 (课本P133 例二) 略
例四 我舰在敌岛A南50?西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北
10?西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？
解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20 ?BAC=40?+80?=120?
BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC
1?122?202?2?12?20?(?)?784 BC=28
2即追击速度为14mile/h
ACBC?又：∵△ABC中，由正弦定理： sinBsinA∴sinB?ACsinA5353? ∴B?arcsin BC141453)东 14∴我舰航行方向为北(50??arcsin三、作业：P134 练习 1、2 习题5.10 1—4
第二十二教时
教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个
新的水平。
过程：
四十一、 知识（概念）的梳理：
1．向量：定义、表示法、模、几种特殊向量 2．向量的加法与减法：法则（作图）、运算律
3．实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、
平面向量的基本定义
四十二、 例题：
24． 若命题M：AA'=BB'；命题N：四边形ABB’A’是平行四边形。 则M是N的 （ C ）
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解：若AA'=BB'，则 |AA'|=|BB'|，且AA', BB'方向相同
∴AA’∥BB’ 从而ABB’A’是平行四边形，即：M?N 若ABB’A’是平行四边形，则|AA’|=|BB’|，且AA’∥BB’ ∴|AA'|=|BB'| 从而AA'=BB'，即：N?M 25． 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
1?AB?BC?CD 2?DB?AC?BD 3??OA?OC?OB?CO 解：1? 原式= (AB?BC)?CD?AC?CD?AD
2? 原式= (DB?BD)?AC?0?AC?AC
3? 原式= (OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB 26． a =“向东走5km”，b =“向西走12km”，试求a+b的长度与方向。 解：如图：|OB|?52?122?13(km)
1212 tan?AOB = , ∴?AOB = arctan
a+b 55a
12 ∴a + b的长为13km，方向与OA成arctan的角。
5B b A
27． 如图：1?已知a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。
2?已知a、b、c，求作a + c ? b
a?b c a+c?b a b a b a a+c a c d d b c b c c?d 128． 设x为未知向量，a、b为已知向量，解方程2x?(5a+3x?4b)+a?3b=0
219解：原方程可化为：(2x ? 3x) + (?5a +a) + (4b?3b) = 0 ∴x =?a + b
22
O
29． 设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb (k?R)，若c∥d，试求k。 解：∵c∥d ∴由向量共线的充要条件得：c =λd (λ?R)
即：ka+b=λ(a+kb) ∴(k?λ)a + (1?λk)b = 0
?k???0又∵a、b不共线 ∴由平面向量的基本定理：??k??1
?1?k??030． 如图：已知在 ABCD中，AH=HD，BF=MC=
试用a、b分别表示AM、MH、AF。 解：∵ ABCD中，BF=MC=
∴FM=
1BC, 2D a B 1BC，设AB=a，AD=b，4F M C 11BC=AD=AH ∴FM AH H b A 22∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF=HM
33311又：BM?BC?AD?a , 而FB??BC??b
4444431∴AM?AB?BM= a +b , MH?FA?FB?BA= ?b ? a
4411 AF??FA??(?b ? a) = b + a
44四十三、 作业： 《导学?创新》§5.1 §5.2
第二十三教时
教材：复习二——实数与向量的数量积（续）
目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。 过程：
四十四、 继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本
定理——平几问题
A 31． 如图：已知MN是△ABC的中位线，
1求证：MN=BC, 且MN∥BC
2N M
证：∵MN是△ABC的中位线，
11∴AM?AB, AN?AC B C 221111∴MN?AN?AM?AC?AB?(AC?AB)?BC
22221∴MN=BC, 且MN∥BC
232． 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
1证：设AC= b，CB= a，则AD=AC+CD= b+a, EB?EC?CB=
2 A ∵A, G, D共线，B, G, E共线
F G B E C
∴可设AG=λAD，EG= μEB,
11a)=λb+λa, 2211 EG= μEB= μ(b+a)=μb+μa,
22111∵AE?EG?AG 即：b + (μb+μa) =λb+λa
222111∴(μ?λ)a + (μ?λ+)b = 0 ∵a, b不平行，
22221????????0??3?AG?2AD 2∴???1113??????0???23?2?即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF
则AG=λAD=λ(b+
33． 设AB=
共线。
2(a+5b)，BC=?2a + 8b，CD=3(a ?b)，求证：A,B,D三点2证：AD=AB+BC+CD=
2(a+5b) + ( ?2a + 8b) + 3(a ?b) 2= (1+
222)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b) 2222(a+5b) ∴AD= (2+ 1)AB 2而AB=
又∵AD, AB有公共点 ∴A,B,D三点共线
34． 求证：起点相同的三个非零向量a、b、3a ?2b的终点在同一直线上。
证：依题意，可设OA= a, OB= b, OC= 3a ?2b
AB=OB?OA= b ? a , AC=OC?OB= 3a ?2b ? a = 2(a ? b)
∴AC= ?2AB 由于AC,AB起点均为A，∴三点A,B,C共线，
即起点相同的三个非零向量a、b、3a ?2b的终点在同一直线上 35． 已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、
B共线的充要条件是存在实数λ和μ，使OC=λOA+ μOB，且λ+ μ = 1。
证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设AC= tAB (t?R)
则OC=OA+AC=OA+ tAB=OA+ t(OB?OA) = (1?t)OA+ tOB 令1?t =λ，t = μ，则有：OC=λOA+ μOB，且λ+ μ = 1 充分性：AC=OC?OA=λOA+ μOB?OA= (λ?1)OA+ μOB
= ?μOA+ μOB= μ(OB?OA) = μAB
∴三点A、B、C共线
36． 某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，
而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。 解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
P 无风时此人感到风速为?a，
设实际风速为v，
v v?2a 那么此时人感到的风速为v ? a，
设OA= ?a，OB= ?2a
B A O
∵PO+OA=PA ∴PA= v ? a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵PO+OB=PB ∴PB= v ?2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB， 由题意：?PBO = 45?, PA?BO, BA = AO
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a
∴实际风速是2a的西北风
四十五、 作业： 《导学?创新》 §5.3
第二十四教时
教材：复习三——平面向量的坐标运算、定比分点 过程：
四十六、 复习：平面向量坐标的概念，运算法则，定比分点 四十七、 例题：
37． 已知四边形的顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(8,14)，D(3,5)， 求证：四边形ABCD是一个梯形。
证：∵AD=(2,3), BC=(6,9) 且2×9?3×6=0 ∴AD∥BC
又∵AB=(1,3), CD=(?5,?9) 而1×(?9)?3×(?5)?0 ∴AB∥CD