例三、在△ABC中，已知a?60 b=50 A=38? 求B (精确到1?)和c（保留
两个有效数字）
解略 见P129 注意由b
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）
b C a A b B2
a C a B1
A b C a C b a
B
bsinA?a?b A A Bc A a?bsin
B
a?b a?b
一解 两解
一解
五、作业：P131练习1、2 P132 1、2、3
第十八教时
教材：余弦定理
目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。 过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。 提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？
2．在Rt△ABC中(若C=90?)有：c2?a2?b2 在斜
三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
二、提出课题：余弦定理 1．余弦定理的向量证明： 设△ABC三边长分别为a, b, c AC=AB+BC
A
b
a
c B
C AC?AC=(AB+BC)?(AB+BC)=AB2+2AB?BC+BC2
=|
AB|2+2|
AB|
?|
BC|cos(180?-
B)+|BC|2=c2?2accosB?a2 即：b2?a2?c2?2accosB
同理可得：a2?b2?c2?2bccosA c2?a2?b2?2abcosC 2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1?熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2?知三求一
3?当夹角为90?时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例） 4?变形：
a2?b2?c2cosC?
2acb2?c2?a2cosA?2bc
a2?c2?b2cosB?
2ac三、余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角
2．已知三边和它们的夹角求第三边 例一、(P130例4) 在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6 求A,B,C（精确到期
1?） 解略
例二、(P131例5) 在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=82?28’解这个三角
形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’） 解略
????例三、设a=(x1, y1) b=(x2, y2) a与b的夹角为? （0≤?≤?），求证：
?? x1x2+ y1y2=|a||b|cos?
??证：如图：设a, b起点在原点，终点为A，B
??则A=(x1, y1) B=(x2, y2) AB=b?a 在△ABC中，由余弦定理 ??2?2?2??|b?a|=|a|+|b|?2|a||b| cos?
B A
?b O ?a
??2
∵|b?a|=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2 ?2?222
|a|=x1+y1 |b|= x22+y22 ∴(x2-x1)+( y2-y1)
2
2
?= x12+y12+ x22+y22?2|a?||b| cos?
??????∴x1x2+ y1y2=|a||b|cos? 即有a?b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos?
四、小结：余弦定理及其应用
五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分
第十九教时
教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课
目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。 过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 二、例一 证明在△ABC中
圆半径
证略 见P159
注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)
2.正弦定理的三种表示方法(P159)
例
二
在
任
一
△
ABC
中
求
证
：
abc===2R，其中R是三角形外接sinAsinBsinCa(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0
证：左边
=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB) =
2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右边
例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45? 求A、C及c
asinB3sin45?3解一：由正弦定理得：sinA? ??b22∵B=45?<90? 即b
bsinC2sin75?6?2??当A=60?时C=75? c? sinB2sin45?bsinC2sin15?6?2??当A=120?时C=15? c? ?sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 将已知条件代入，整理：x2?6x?1?0 解之：x?6?2 2
6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 当c?时cosA?2bc26?22(3?1)22?2?22222?( 从而A=60? C=75?
当c?6?2时同理可求得：A=120? C=15? 2例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161
例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1?角C的度数 2?AB的长度 3?△ABC的面积
1解：1?cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? ∴C=120?
2?a?b?232?由题设：?
?a?b?2∴AB=AC+BC?2AC?BC?osC?a?b?2abcos120
2
2
2
22??a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10
11133?3?S△ABC=absinC?absin120???2?
22222例六 如图，在四边形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?,
?BCD=135? 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x
则BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA 即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0
解之：x1?16 x2??6（舍去）
BCBD16???sin30?82 ∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135例七 （备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
A
B
D C
由余弦定理：
1?求最大角 2?求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。
解：1?设三边a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1
a2?b2?c2k?4∵C为钝角 ∴cosC???0解得1?k?4
2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2时不能构成三角形应舍去
1当k?3时 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?
42?设夹C角的两边为x,y x?y?4 S?xysinC?x(4?x)?当x?2时S最大=15
三、作业：《教学与测试》76、77课中练习
a2?b2b2?c2c2?a2???0 补充：1．在△ABC中，求证：
cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD
A 1515??(?x2?4x) 442．如图AB?BC CD=33 ?ACB=30? ?BCD=75? ?BDC=45? 求AB的长 (112)
B
C
第二十教时
教材：解斜三角形的应用
目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形
的知识解决实践中的有关问题。 过程：一、提出课题：解斜三角形的应用 二、例一 (课本P132 例一) 略
例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦
系数为0.3，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6?20’，AC长为1.40米，求货物开始下滑时AC的长。
C 解： 设车箱倾斜角为?，货物重量为mg
? A
B