第一章 质点运动学
1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度． [解答]（1）质点在第1s末的位移大小为
x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．
在第2s末的位移大小为
x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．
在第2s内的位移大小为
Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为
v=Δx/Δt = 4(m·s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为 v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a(t) = dv/dt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为
a(1) = 12 - 12×1 = 0， 第2s内的平均加速度为
a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试
a?证加速度为
2(n?1)s(n?1)t2．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo， 根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n – 1)vo/t， (1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得
a = (n2 – 1)vo2/2s，(2)
（1）平方之后除以（2）式证得
a?2(n?1)s(n?1)t2．
计算得加速度为
a?2(5?1)30(5?1)102=
1.3一人22.5°的夹坑的东且取g = （1）（2） 角？
[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
v 0.4(m·s-2)． B A v R v + u 乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成l A θ v2 B v - u -1
y 22.5角的初速度65m·s从西边起跳，准确地落在 o h a a边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，y u v1 70m v -2O α ax A 10m·s．问： vh 3 α θ vα 2 θ v0xA B v⊥ x u 矿坑有多宽？他飞越的时间多长？ v0y 图1.3 图1.7 v l v0 图1.10 v1 他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹
第3章 狭义相对论
3.1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？
[解答]地球的半径约为
R = 6400千米 = 6.4×106(m)，
自转一圈的时间是
T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)， 赤道上钟的线速度为
v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．
将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．
南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．
方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时
Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
?t??t`1?(v/c)2，
可求得B钟的本征时为
1v?t`??t1?(v/c)2?[1?()2]?t2c，
因此时间差为
1v?t??t`?()2?t2c=1.898×105(s)．
在南极上看，赤道上的钟变慢了．
方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
?t`??t1?(v/c)2，
可求得A钟的本征时为
1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t`2c，
因此时间差为
1v?t`??t?()2?t`2c =1.898×105(s)．
在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．
有人直接应用公式计算时间差
?t??t`??t`1?(v/c)2??t`
1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t`2c2c，
由于地球速度远小于光速，所以计算结果差
不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．