Φb = π/3． 由于xc = 0，所以
cosΦc = 0，
又由于c点位相大于b位相，因此
Φc = π/2．
同理可得其他两点位相为 Φd = 2π/3，Φe = π．
c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为
ta = T/6．
到达b点的时刻为
tb = 2ta = T/3．
到达c点的时刻为
tc = ta + T/4 = 5T/12．
到达d点的时刻为
td = tc + T/12 = T/2．
到达e点的时刻为
te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为
x = Acos(ωt + θ)，
当t = 0时，x = A/2时，所以
cosθ = 0.5，
因此
θ = ±π/3；
由于零时刻的位相小于a点的位相，所以
θ = -π/3，
因此振动表达式为
x?Acos(2?t??)T3．
另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此c d b 初位相取负值，
从而可得运动方
a e 程． x O θ （3）如图旋 A 转矢量图所示． 方法
x 二：由时间A 求位相．将 A/2曲线反方f 向延长与t O 轴相交于f
点，由于xf = 0，根据
运动方程，可得
a b c d e t
cos(2?t??)?0T3
所以
2?tfT??3???2．
显然f点的速度大于零，所以取负值，解得
tf = -T/12．
从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为
ta = T/4 + tf = T/6，
其位相为
?a?2?ta???0T3．
由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点
的位相．
4.3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．
（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程；
（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动，求运动方程．
[解答]当物体平衡时，有
Mg – kx0 = 0，
所以弹簧的倔强系数为
k = Mg/x0，
物体振动的圆频率为
??k/M?g/x0= 10(rad·s-1)．
设物体的运动方程为
x = Acos(ωt + θ)． （1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为
2A?x0?(v0/?)2?|x0|= 8.0×10-2(m)；
由于初位移为x0 = -A，所以cosθ = -1，初位相为
θ = π．
运动方程为
x = 8.0×10-2cos(10t + π)． （2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为
2A?x0?(v0/?)2= |v/ω| = 6.0×10-2(m)；
0
由于cosθ = 0，所以θ = π/2；运动方程为
x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．
4.4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成
的系统，按
x?0.1cos(8?t?2?)3的规律作
振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：
（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；
（2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置．
[解答]（1）比较简谐振动的标准方程
x = Acos(ωt + θ)，
可知：圆频率为
ω =8π，
周期
T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，
振幅为
A = 0.1(m)，
初位相为
θ = 2π/3．
（2）速度的最大值为
vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1)； 加速度的最大值为
am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)． （3）弹簧的倔强系数为
k = mω2，
最大回复力为