?t`??t??t1?(v/c)2??t
1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t2c2c
3.2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为
?0?2L0c．若将这个光钟横放在一个以速度
??v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两?v镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中
观察，火车上钟的一个“滴答”η与η0的关
系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，η0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间η是运动时，所以它们的关系为
???01?(v/c)2．
3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`??t1?(v/c)2， 45?即
1?(v/c)2，
可以求两系统的相对速度为
v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为 Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3.4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的
夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
`lx?lx1?(v/c)2，
因此
tan?`?可得夹角为
`ly`lx?tan?1?(v/c)2，
?`?arctan{[1?(v/c)2]?1/2tan?}．
3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??x?v?t1?(v/c)2，
?t`??t??xv/c21?(v/c)2． （1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
?x`??x1?(v/c)2，
?t`???xv/c21?(v/c)2．（2）
v?c1?(?x/?x`)2． （3）
由（2）之上式得它们的相对速度为
将（2）之下式除以（2）之上式得
?t`v??2?x`c，
所以
?t`???x`?x1?()2c?x` ??1(?x`)2?(?x)2c= -0.577×10-8(s)．
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时
发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公
2?x`??x1?(v/c)式，计算它们的相对速度．
3.6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
x`?x?vt1?(v/c)和?x?v?t2t`?t?vx/c21?(v/c)2，
飞船上观察运动员的运动距离为
?x`?1?(v/c)2 ?100?0.8c?101?0.82≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为