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四、考察指对数相互转化与运算
１（2010辽宁文数）（10）设2?5?m，且
ab11??2，则m? ab（A）10 （B）10 （C）20 （D）100 解析：选A.
11??logm2?logm5?logm10?2,?m2?10,又?m?0,?m?10. ab２.（2009全国卷Ⅱ文）设a?lge,b?(lge)2,c?lge,则
（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 答案：B
解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=B。
３.（2009广东卷理）若函数y?f(x)是函数y?ax(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)?
A. log2x B. log1x C.
21lge, 作商比较知c>b,选212 D. x x2【解析】f(x)?logax，代入(a,a)，解得a?
1
，所以f(x)?log1x，选B. 22五、考察导数的几何意义
1???１（2010全国卷2理数）（10）若曲线y?x在点?a,a2?处的切线与两个坐标围成的三
???12角形的面积为18，则a?
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..
133???11?31【解析】y'??x2,?k??a2，切线方程是y?a2??a2(x?a)，令x?0，
2221?3?113y?a2，令y?0，x?3a，∴三角形的面积是s??3a?a2?18，解得a?64.
222
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２（2010辽宁文理数）（12）已知点P在曲线y?斜角，则?的取值范围是 (A)[0,
4上，?为曲线在点P处的切线的倾ex?1??3???3?] (D) [,?) ) (B)[,) （C） (,4244244ex41x解析：选D.y???2x，???e??2,??1?y??0， xx1e?2e?1eex?2?xe3?即?1?tan??0，???[,?)
4３（2010全国卷2文数）（7）若曲线y?x2?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则
（A）a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1 【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵
y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切线x?y?1?0，∴ b?1
４.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
'解:设切点P(x0,y0)，则y0?x0?1,y0?ln(x0?a),又?y|x?x?01?1
x0?a?x0?a?1?y0?0,x0??1?a?2.故答案选B
2５.（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程
为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A．4 B．?答案：A
【解析】由已知g?(1)?2，而f?(x)?g?(x)?2x，所以f?(1)?g?(1)?2?1?4故选A ６.（2009湖南卷文）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数， ．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是【 A 】
11 C．2 D．? 42
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y y y y o a b x o a
o b x a
o b x a
b x
A ． B． C． D．
解: 因为函数y?f(x)的导函数．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上
各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y??k为常数噢.
六、考察利用导数判断函数的图像大致形状、单调性和最值
１（2010山东文数）（11）函数y?2x?x2的图像大致是
答案：A
２（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??13x?81x?234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量3为
（A）13万件 (B)11万件
(C) 9万件 (D)7万件 答案：C
t2?4t?1３（2010重庆文数）(12)已知t?0，则函数y?的最小值为____________ .
tt2?4t?11?t??4??2(?t?0)，当且仅当t?1时，ymin??2 解析：y?tt４.(2009年广东卷文)函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 【解析】f?(x)?(x?3)?ex?(x?3)ex
x21世纪教育网 【答案】D
????(x?2)e8
x,令f?(x)?0,解得x?2,故选D
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七、考察函数的最值与恒成立问题
（2010天津理数）（16）设函数f(x)?2?2?，对任意x??,???，x?1?3??x?f???4m2f(x)?f(x?1)?4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 . ?m?【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
3x22222依据题意得2?1?4m(x?1)?(x?1)?1?4(m?1)在x?[,??)上恒定成立，即
2m13232?4m????1x?[,??)上恒成立。 在22mxx23325152当x?时函数y??2??1取得最小值?，所以2?4m??，即
2xx3m3(3m2?1)(4m2?3)?0，解得m??33或m? 22【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
八、考察抽象函数性质及其具体背景
１（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C] （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数 解析：本题考查幂的运算性质 f(x)f(y)?aa?a２（2010
xyx?y?f(x?y)
1，4重庆理数）（15）已知函数f?x?满足：f?1??4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则f?2010?=_____________.
解析：取x=1 y=0得f(0)?1 2法一：通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故f?2010?=f(0)=
1 2３.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则
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( D )
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数
解: ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，
?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周期
函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。 ４.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11)
【解析】:因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得
f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.
５.（2009江西卷文）已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有，则f(?2008)?f(2009)的值f(x?2）?f(x)，且当x?[0,2)时，f(x)?log2(x?1）为
A．?2 B．?1 C．1 D．2 答案：C 【解析】f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log2?log2?1,故选C.
６.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B.
125215 C. 1 D. 2210