函数题库
C. y???2x?1,x?0?x?1,x?03
x??e,x?oD．y???x
??e,x?0答案 C
解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在??2,0?上单调递减，注意到要与f?x?的单调性不同，故所求的函数在??2,0?上应单调递增。而函数
y?x2?1在???,1?上递减；函数y?x?1在???,0?时单调递减；函数
?2x?1,x?0在（??,0]上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增， y??3?x?1,x?0x??e,x?0?x显然符合题意；而函数y???x，有y’=-e<0(x<0),故其在（??,0]上单调递减，
??e,x?0不符合题意，综上选C。
40.（2009重庆卷文）把函数f(x)?x?3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移
3v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u?0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v
的最小值为
A．2 B．4 答案 B
C．6
D．8
（ ）
解析 根据题意曲线C的解析式为y?(x?u)?3(x?u)?v,则方程
31(x?u)3?3(x?u)?v?x3?3x，即3ux2(u3?3u?v)?0，即v??u3?3u对任意
4131u?0 恒成立，于是v??u?3u的最大值，令g(u)??u3?3u(u?0),则 44u?0 g((u)??3u2?3??3(u?2)(u?2)由此知函数g(u)在（0，2）上为增函数，
44在(2,??)上为减函数，所以当u?2时，函数g(u)取最大值，即为4，于是v?4。 41.（2009重庆卷理）若f(x)?答案
1?a是奇函数，则a? ． x2?11 212x?a??a,f(?x)??f(x) 解析 解法1f(?x)??x2?11?2x
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2x112x1??a??(?a)?2a???1故a?1?2x2x?11?2x1?2x2
42（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 答案
3x?1 解析 由y＝x3+1，得x＝3y?1，将y改成x，x改成y可得答案。
?3x,x?1,44（2009北京文）已知函数f(x)??若f(x)?2，则x? .
??x,x?1,.w.w.s.5 答案 log32
5.u.c.w 解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由??x?1?x?1，无解，故应填log32. ?x?log2?3x??x?2?x??2?3?2?1,x?0?1?x45.（2009北京理）若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为____________.
3?(1)x,x?0??3答案 ??3,1?
解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算
的考查.
?x?01? （1）由|f(x)|???11??3?x?0.
3???x3?x?0?x?01??xx （2）由|f(x)|????1?1???1?1?0?x?1.
3????????3??3?3??3?1的解集为?x|?3?x?1，∴应填??3,1?. ?35?1x46.（2009江苏卷）已知a?，函数f(x)?a，若实数m、n满足f(m)?f(n)，
2 ∴不等式|f(x)|?则m、n的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。
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a?5?1?(0,1)，函数f(x)?ax在R上递减。由f(m)?f(n)得：m
x1?x2?x3?x4?_________.
答案 -8
解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x),所以f(x?4)?f(?x),所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0,由f(x?4)??f(x)知
f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,
所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性知x1?x2??12x3?x4?4所以x1?x2?x3?x4??12?4??8
y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,
运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
14.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有
f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)
②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；
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③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④
解析 ①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b
f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是
真命题
②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e
f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新 颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 48.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?g(x) x(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点. 解 （1）设g?x??ax?bx?c，则g??x??2ax?b；
2 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ? ?g??1??a?b?c1?2? f?x??b??1 ， b?2 2 c?m； ?c?m，1?g?x?m?x??2， 设P?xo,yo? xx
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则PQ?x0??y0?2?222?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m2?2
x0?x0?2 ?22 m??m2?2?4 （2）由y?f?x??kx??1?k?x?2； 2m?2?0， x 得 ?1?k?x2?2x?m?0 ?*?
mm，函数y?f?x??kx有一零点x??； 221 当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1?，
m 当k?1时，方程?*?有一解x?? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；若m?0，
k?1?1?2?4?4m?1?k?1?1?m?1?k?，函数y?f?x??kx有两个零点x?； ?m2?1?k?k?1, k?1?0 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??1, 函数mx?y?f?xx??k有一零点
1 k?149.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数f(x)?x3?(k2?k?1)x2?5x?2，
g(x)?k2x2?kx?1，
其中k?R．
（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．．
?g(x),x?0, （II）设函数q(x)?? 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一
f(x),x?0.?的非零实数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由．
解 （I）因P(x)?f(x)?g(x)?x?(k?1)x?(k?5)?1，
所以p??x??0在p??x??3x2?2(k?1)x?(k?5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，．．．．
32?0,3?上有实数解，且无重根，由p??x??0得k(2x?1)??(3x2?2x?5),
(3x2?2x?5)3?910??k??????2x?1????，令t?2x?1,有t??1,7?，记
2x?14?2x?13?
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