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9h(t)?t?,则h?t?在?1,3?上单调递减，在?3,7?上单调递增，所以有h?t???6,10?，
t于是?2x?1??9??6,10?，得k???5,?2?，而当k??2时有p??x??0在?0,3? 2x?1上有两个相等的实根x?1，故舍去，所以k???5,?2?； （II）当x?0时有q??x??f??x??3x2?2(k2?k?1)x?5；
当x?0时有q??x??g??x??2k2x?k，因为当k?0时不合题意，因此k?0， 下面讨论k?0的情形，记A?(k,??)，B=?5,???（ⅰ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递增，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此有k?5，（ⅱ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递减，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此k?5，综合（ⅰ）（ⅱ）k?5；
当k?5时A=B，则?x1?0,q??x1??B?A，即?x2?0,使得q??x2??q??x1?成立，因为q??x?在?0,???上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，?x1?0，即存在唯一的非零实数x2(x2?x1)，要使q??x2??q??x1?成立，所以k?5满足题意．
7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1)若(2)求
f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. f(0)?1，求a的取值范围； f(x)的最小值； 直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的f(x),x?(a,??)，．．．．
(3)设函数h(x)?解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
?a?0（1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a??1
?a?122（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0?,a?0??3?3
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当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min22??2a2,a?0?f(?a),a?0?????2
f(a),a?0???2a,a?0 综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??322（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0，
??4a2?12(a2?1)?12?8a2
当a??66时，??0,x?(a,??)； 或a?22?a?3?2a2a?3?2a266(x?)(x?)?0 当?时，△>0,得：??a??3322??x?a讨论得：当a?(26,)时，解集为(a,??); 22a?3?2a2a?3?2a262当a?(?,?)时，解集为(a,]?[,??);
2233a?3?2a222当a?[?,]时，解集为[,??).
22350.（2009年上海卷理）已知函数y?f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a?0)，函数y?f(x?a)与y?f?1；若函数(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”
。 y?f(ax)与y?f?1(ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”（1） 判断函数g(x)?x?1(x?0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0，满足“a积性质”。求y?f(x)的表达式。 解 （1）函数g(x)?x?1(x?0)的反函数是g?1(x)?22x?1(x?1)
?g?1(x?1)?x(x?0)
而g(x?1)?(x?1)?1(x??1),其反函数为y?故函数g(x)?x?1(x?0)不满足“1和性质”
22x?1?1(x?1)
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（2）设函数f(x)?kx?b(x?R)满足“2和性质”，k?0.
?f?1(x)?x?bx?2?b(x?R),?f?1(x?2)?…….6分 kkx?b?2k而f(x?2)?k(x?2)?b(x?R),得反函数y?………….8分
kx?2?bx?b?2k由“2和性质”定义可知=对x?R恒成立
kk?k??1,b?R,即所求一次函数为f(x)??x?b(b?R)………..10分
（3）设a?0，x0?0，且点(x0,y0)在y?f(ax)图像上，则(y0,x0)在函数y?f?1(ax)图象上，
故
．．．．．12分 f(ax0)?y0，可得ay0?f(x0)?af(ax0)， ．
f?1(ay0)?x0
令ax0?x，则a?
xf(x0)xx。?f(x0)?。 ．．．．．．14分 f(x)，即f(x)?0xx0x0综上所述，1?b1qn?1?bnf(x)?而f?1kkk(k?0)，此时f(ax)?，其反函数就是y?，
axxax(ax)?k?1，故y?f(ax)与y?f(ax)互为反函数 。 ax2005—2008年高考题
一、选择题
2? x≤1，?1?x，1.（2008年山东文科卷）设函数f(x)??2则
??x?x?2，x?1，?1?f??的值为（ ） ?f(2)?D．18
A．
15 16
B．?27 16 C．
8 9
答案 A
2.（07天津）在R上定义的函数f?x?是偶函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?
是减函数，则函数f?x?
（ ）
A.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是增函数 B.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是减函数
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C.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数 答案 B
3. (07福建)已知函数f?x?为R上的减函数，则满足f??是
?1?x????f?1?的实数x的取值范围 ?
（ ）
A.??1,1? C.??1,0???0,1? 答案 C
B.?0,1?
D.???,?1???1,???
4.(07重庆)已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则
（ ）
A.f?6??f?7? B. f?6??f?9? D. f?7??f?10?
C. f?7??f?9?
答案 D
5.（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 A.y? ( )
3|x?1| (0≤x≤2) 233B.y??|x?1| (0≤x≤2)
223C.y??|x?1| (0≤x≤2)
2D.y?1?|x?1| (0≤x≤2)
答案 B
6.（2005年上海13）若函数f(x)?1，则该函数在(??,??)上是 2x?1（ ）
A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值 答案 A 二、填空题
7.（2007上海春季5）设函数y?f(x)是奇函数. 若f(?2)?f(?1)?3?f(1)?f(2)?3
则f(1)?f(2)? .
答案 ?3
8.（2007年上海）函数y?lg(4?x)的定义域是 ．
x?334
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答案 xx?4且x?3
9.（2006年安徽卷）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2????1，若f?1???5,f?x?
则f?f?5???_______________。
15答案 - 解析 f?f?5???f(?5)?f(?1)?11??。
f(?1?2)510.（2006年上海春）已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，
f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? .
答案 -x-x
三、解答题
11.(2007广东) 已知a是实数，函数f?x??2ax2?2x?3?a，如果函数y?f?x?在区间
4
??1,1?上有零点，求a的取值范围.
解析 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0. 令 ??4?8a?3?a??8a2?24a?4?0, 解得 a??3?7 2 ①当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 2 ②当f??1??f?1???a?1??a?5??0，即1?a?5时，y?f?x?在
??1,1?上也恰有一个零点.
③当y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则
a?0a?0?????8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?5 235