分析力学有微分和积分两种形式，拉氏方程和哈氏正则方程属于微分形式，它们可以通过最小作用量原理转化为积分形式。所谓哈密顿作用量，就是拉氏量对时间的积分；对应于实际发生的运动，其变分[27]为零，即作用量取作极值，这就是哈密顿原理。哈密顿体系理论研究的发展，使其在数值求解方面上的应用得到了前所未有的大发展。
1983年国外出现了第一篇对特定哈密顿方程构造差分格式的文章。1984年中科院院士冯康[28-30]教授首次提出了哈密顿的辛几何算法，开创了将计算物理、计算力学和计算数学相结合的先河。唐立民[31,32]教授提出的弹性力学的混合方程也是哈密顿正则方程，并指出即使是对弹性力学静力问题也应有它的哈密顿正则方程，这使得哈密顿体系在弹性力学领域得到了迅速发展。
哈密顿对偶求解体系[33-36]采用多变量一阶常微分方程组描述计算模型的状态，开辟了一条新的道路，由于低阶微分方程有利于数值求解，发展了一系列简便高效的数值求解方法，对偶变量体系与数值方法的结合，更充分地体现出对偶变量体系的优点，充分发挥计算机的优势，解决更多的工程问题。
近年来钟万勰提出了计算指数矩阵的精细积分法即2N类算法，该方法的思想是先分再合，通过2N运算的思想达到对矩阵指数的求解，算法十分简单，且接近于计算机的精度，为计算提供了十分便利的工具。由于精细积分法[37-39]的出色表现，它在各个方面得到了广泛的应用。除了应用于自动控制理论中，还在其他一些领域，如动力学响应求解、瞬态热传导等问题得到了很多的研究与应用。此外很多学者对工程领域中的精细积分的应用效率以及实用性进行了研究。
汪梦甫[40]等研究了精细积分法的稳定性；徐明毅[41]等对精细辛几何算法进行了误差估计；王一凡在精细积分法的基础上，实现了精细积分法与单步houblolt法的结合[42]；胡启平教授对考虑剪切变形的梁进行了简化计算并运用状态空间法对高层建筑结构进行了分析[43~50]，建立了考虑楼板变形的分段并联连续化的计算模型，导出了模型的状态空间表达式，用精细积分法求出结构内力和位移；钟万勰又将精细积分法扩展到用于求解偏微分方程中，这种半解析法与传统的有限元方法、有限差分法相比有很大的优势，自由度降低且保持了数值精度高的优点，稳定性和收敛性较好，具有较广泛的应用前景。
1.5本文的主要研究内容
本文以薄壁杆件结构双向弯曲理论和应用力学的辛数学方法为基础，结合哈密顿对偶体系，对薄壁箱形截面梁桥结构考虑剪力滞效应影响下的弯扭耦合、二阶及稳定情况进行分析研究，提出一种新的分析方法。主要研究内容包括：
（1）收集薄壁箱形截面梁桥研究的相关资料并进行系统分析，总结当前箱形截面梁桥分析方法的研究现状，明确研究方向和目标；
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（2）建立薄壁箱形截面梁桥结构半离散化的力学计算模型，选取模拟翘曲的插值函数，即用纵向结线将结构划分成若干纵向条形单元，结线位移为基本位移函数，结线间翘曲用插值函数模拟，拟建立一个等截面箱形薄壁梁结构的计算模型，研究考虑剪力滞后影响的箱形梁结构在弯扭作用下结构弯扭耦合、弯扭二阶及稳定问题的分析方法；
（3）应用在截面内离散纵向连续的方法，从能量变分原理出发，利用分析力学的方法建立整个结构的拉格朗日方程，通过勒让德变换引入对偶变量，将分析问题从拉格朗日体系导向哈密顿体系，导出问题的哈密顿对偶方程；
（4）采用两端边值问题的精细积分法，结合编制的计算机程序，求解相应问题的哈密顿对偶方程，得到其高精度数值解；
（5）选择合适的算例，并用算例方法的结果与本文方法计算结果相比较，验证本文方法的精度，进而讨论弯扭作用对薄壁箱形截面梁桥结构考虑剪滞效应时弯扭耦合、二阶、稳定特性的影响。
（6）指出本文方法的适用性，提出相应的分析结论。
1.6 本文的研究目的和意义
本文的研究工作旨在针对薄壁箱形截面这种在桥梁工程中应用比较广泛的截面结构形式，因其在外载作用下截面应力存在剪力滞后现象，故抛弃初等梁理论中的平截面假定，采用简化模型，建立等截面箱形截面薄壁梁结构的计算模型，选取上下翼缘板纵向位移沿翼缘横向分布时半离散化的插值函数，提出一种在纵向弯曲中计入剪力滞效应的弯扭耦合、弯扭二阶和稳定分析的通用的计算模型和新的计算方法，在此基础上提出弯扭作用对薄壁箱形截面桥梁结构内力和翘曲的影响，同时得出各相关分析的有益结论。
目前，国内外学者对箱形截面梁桥弯扭作用的理论分析已进行了很多年的研究，对剪力滞效应的数值分析也做了不少工作，但从数值分析的精细积分法这一角度去分析研究这一问题的还较少，鉴于理论研究的发展及实际工程的需要，对此课题的研究也就有着十分重要的意义。
本文在国内外研究薄壁箱形截面梁桥弯扭分析方法的基础上，对此类结构的分析提出了一种新的计算模型和方法。其意义主要体现在：
（1）建模时，摒弃初等梁理论中的平截面假定，采用翘曲函数来描述结构的纵向位移，在箱形截面上采用翘曲函数的插值来描述截面各点的位移，在此基础上建立的计算模型，更加接近于实际，具有很好的现实研究价值；
（2）为结构设计人员了解箱形截面梁桥的计算模型和方法提供了参考资料，为他们解决此类结构在外载作用下弯扭耦合的工作原理、二阶分析的意义及稳定性研究提供了借鉴；
（3）整个过程物理概念清晰，易于用计算机编程计算，且精度满足要求。为箱形
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截面梁桥结构在方案的确定和初步设计阶段，提供了一种简单的计算方法。开阔了此类问题的求解思路，在工程计算中有一定的实用价值和发展前景。
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第2章 哈密顿对偶体系及其精细积分法
2.1 拉格朗日方程与哈密顿变分原理
牛顿力学是解决力学问题的基本方法，而拉格朗日力学[51]更适合解决较复杂的非自由质点系的力学问题。无论是在牛顿力学、麦克斯韦电动力学、波尔兹曼统计力学方面，还是在狭义相对论和广义相对论、量子场论等方面，拉格朗日方程都要比牛顿力学体系的方程优越许多，都可以从哈密顿原理出发，由拉格朗日分析力学的方法导出它们的核心方程。几乎所有的物理学理论都可以归结于最小作用量原理，并利用变分法把彼此统一起来。哈密顿原理这种体现各个不同物理学理论统一性的普遍适应性，使其成为物理学中最基本的原理。
自然界的物质之间都存在着相互作用，这种相互作用促使物质之间产生运动状态的变化，由此而产生物质的能量。标识这种共性的哈密顿函数或拉格朗日函数满足相应的哈密顿正则方程或拉格朗日方程，体现了自然界的和谐统一。哈密顿原理的这种优越性，使以拉格朗日方程为基础的拉氏力学体系成为场论和近代物理得以发展的前提条件。
用广义坐标表示的完整系统的拉格朗日方程为：
d???T?jdt???q??T???Qj,?j?1,2,???,n? （2-1） ??qj??j所表示的系统的动能，Qj为对应于qj的广义式中T为用广义坐标qj和广义速度q力，n为系统的质点数，s为方程完整约束的个数。该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数。
如果作用在质点系上的主动力都是保守力，则对于此保守系统存在着势能函数
V?q1、q2、?、qn?，其广义力Qj写成质点系势能表达的形式为
Qj???? （2-2） ?qj式中?为势能的函数。由此，保守系中的拉格朗日方程为
d???T?jdt???q??T??????,?j?1,2,???,n? （2-3） ??q?qjj?式中L即为拉格朗日函数或动势，为系统动能函数T与势能函数?的差，即
?j的函数，故而 L?T??。又因势能函数?不是广义速度q 12
???0 （2-4） ?j?q这样，此保守体系中的拉格朗日方程可用L表示为
d???L?jdt???q??L???0,?j?1,2,???,n? （2-5） ??qj?哈密顿原理在分析力学中，借助变分运算对质点系及体系内质点的运动情况进行精确的描述，此高度概括性的原理有着十分重要的地位。它的优点在于用该原理对质点系进行力的分析时，与所选广义坐标的参数的选取无关，而且它不仅适用于有限自由度的质点系，还适用于无限自由度的质点系。
由t0时刻的广义位移q0出发，将会有很多条轨迹通往终点，但一般来说只有一条满足拉格朗日方程的轨迹通往tf时刻的广义位移qf，这条轨迹称为正轨。
引入作用量
?,t?dt (2-6) S??L?q,qt0tf式中q?t?是时间t的函数，而变量S是函数q?t?的函数，所以S就成为函数的函数，称之为泛函，即作用量S是广义位移q的泛函。
哈密顿原理表明，此泛函S取驻值时正是沿正规的积分。由此哈密顿原理可表示为
?S?0 (2-7)
作用量S的变分为零即为哈密顿原理，表明其真解将使作用量取驻值。由于作用量
S中只有广义位移q这一类变量，故哈密顿原理是单类变量的变分原理。
将式(2-6)展开变分并作分部积分，得
T???L?T???L???dt??S??????q??q????q????q?????t0?????tf??Ld?L?????()???qdt?0???qdt?qt0?在t0及tf时刻，?q?0；在t0?t?tf时间区段内，?q是任意变分的。由式(2-8)即可推导得出式(2-5)。
tfT (2-8)
2.2哈密顿函数及哈密顿正则方程
在拉格朗日体系中，由广义位移q描述的未知量，对应于位移空间中的一系列点，描述这种点的空间形式称为位空间。其相应的拉格朗日方程(2-5)是一个包含n个关于广
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