义位移q的二阶常微分方程的微分方程组，求解此方程组需要2n个边界条件。这些边界条件的提供可以是初始时刻的位移和速度，或者初始与终点的位移等。
在哈密顿体系中，我们采取增加一类广义位移p的方式，使基本未知量的数量增至
2n个，而相应的微分方程则降低至一阶。随之方程个数增至2n个，方程个数与基本未
知量个数相同。拉格朗日体系之中，n个基本未知量选用广义位移q，而另外n个基本未知量则引入广义动量
?i,t??L?qi,q (2-9) pi??i?q变量?q,p?即称为正则变量，由于q与p互为对偶，故也称为对偶变量。描述此种空间位移的方式称为相空间。
哈密顿体系中含有两类变量——q与p组成的对偶变量。由拉格朗日体系向哈密顿
?,t?向变量?q,p,t?的转化，由二阶微分方程组向一阶微分体系的过渡，相当于由变量?q,q?三者的关系由式(2-9)可得，这种变量的转换称为勒让德方程组的转化。变量p,q,q(Legendre)变换。
此时，引入哈密顿函数
??L?q,q?,t? (2-10) H?q,p,t??pTq由式(2-10)推导可得哈密顿正则方程
T??H?????q?L?L?q?L??pT?????????q?q??q??q??q??q (2-11) ?T???L??q??q??H?q??pT?????q????p???p?p??q?由式(2-9)和式(2-11)可得
???Hq＝???p (2-12) ??H?p?＝???q?此即为哈密顿正则方程，其中采用了两类独立变量：广义位移q和广义动量p。 哈密顿正则方程是由数学家W.R.哈密顿(Hamilton)于1834年提出的，它的正式引入，进一步扩展了拉格朗日分析力学。所引入的相应于广义坐标的广义动量，也作为独立变量，使拉氏量转变为哈氏量。从拉格朗日体系到哈密顿体系的过渡，使传统的欧几里得几何形态进入到辛几何的形态，意义在于此举突破了传统的观念，使对偶混合变量进入到应用力学的广大领域。
哈密顿将二阶微分形式的拉格朗日方程(组)转化成个数增加一倍的一阶微分形式
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的哈密顿正则方程(组)，使得此方程(组)形式更为简洁、对称。分析力学的形式有微分和积分两种，而拉格朗日方程和哈密顿正则方程属于前者，它们可以通过哈密顿原理的推导转化为积分形式，使得分析力学的微分形式和积分形式相互等价、易于转化。
下面我们将推导哈密顿正则方程的辛表述。
由哈密顿正则方程表达式(2-12)可见，其对偶变量q、p并不完全对称。将q、p共同组成一个状态向量
?q?v??? (2-13)
?p?于是哈密顿函数可以表述为H(q,p,t)?H(v,t)，则可得
???H??H???????v?i?qi??H??H?????????v?n?i?pi?1?i?n? (2-14)
为将哈密顿正则方程(2-12)表示为较简洁的形式，现引入辛矩阵
?0J????In即可将式(2-12)写成一阶微分方程的形式
In? (2-15) ?0?n?n??H???J?v? (2-16)
??v?式(2-16)即为对哈密顿正则方程的辛表示。辛矩阵J在辛表示中所具有的特殊意义，体现在它具有以下性质：
①J2??I2n，即辛矩阵J的像是其对应的虚数； ②JTJ?I2n，即辛矩阵J是正交阵；
③JT?J?1??J，即辛矩阵的转置矩阵、逆矩阵、反号矩阵仍然是辛矩阵； ④det(J)?1，即辛矩阵的行列式值等于1或－1；
⑤对于任意的向量v恒有vTJv?0，因为辛矩阵J是反对称矩阵。 由式(2-5)可将拉格朗日函数写成矩阵的形式
???q?TK22q?2?q?TK21q?qTK11q2?gTq (2-17) L?q,q将式(2-17)带入式(2-9)可得
??K21q (2-18) p?K22q由上式可解得
1?1???K? q22K21q?K22p (2-19)
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?，整理得 把式(2-19)代入式(2-10)消去q11TTH?q,p??pTAq?qTBq?pTDp?hqp?hpq (2-20)
22由式(2-20)可求得其对偶方程组为
??q?H?Aq?Dp?hq?p (2-21a)
?HT???p?Bq?Ap?hp?q1?1?1式中D?K?22，A??K22K21，B?K11?K12K22K21，hq?0，hp??g
将式(2-21a)写成向量形式
???AD??q??hq??q???? (2-21b) ?p??T???????B?A??p??hp?至此式(2-21a)可合并写成一阶微分方程形式的哈密顿正则方程
??Hv?f (2-21c) v?hq?D??A式中H??，f???。矩阵H称为哈密顿矩阵，它本身并非对称阵，但JH是T?hB?A???p?对称阵，它具有辛矩阵的特点。
?B?AT??0I?T J??，JH???，?JH??JH (2-22) ???A?D???I0?辛的这个性质与哈密顿体系是分不开的，凡是保守体系均可纳入哈密顿体系的轨道，因此都是具有辛的性质的。如果工程力学和现代控制理论中的保守体系，采用用对偶变量来表述并划归到哈密顿体系，就有望在辛体系的框架下建立一套统一方法论，这对于不同学科间的相互沟通是很有利的。
2.3两端边值问题的精细积分法
哈密顿正则方程的求解大体上区分为两种：本征向量展开法和两端边值问题的逐步积分法。前者的方法需将哈密顿矩阵的全部本征值和本征向量都求出，此条件的满足需要在本征解中不出现约当型才可有可靠的算法，而约当型出现时就会出现数值的不稳定性，这又是理论本身所致。对于精细积分法而言，则无论在求解的过程中是否会出现约当型，都会得出具有计算机精度的数值结果。
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2.3.1对偶变量与区段混合能
在此引入纯位移法中的区段变性能。所谓纯位移法就是全部采用位移作为基本未知量。上节中介绍了拉格朗日函数和哈密顿原理及其正则方程，其中拉格朗日函数的物理意义实质上就是体系的势能密度。现将时间坐标t换成纵坐标z，取其中一个区段?za,zb?作为基本区段，则哈密顿原理变分式(2-8)中的积分上下限相应的也该换成相应的变量
(za,zb)。可求得基本区段的的变形能（即势能密度在区段(za,zb)上的积分）为
?)dzU?za,zb,qa,qb???L(q,qzazb1?1?T??q?TK21q?qTK11q?gTq????qK22q?dz22?za?现将区段两端的边界条件（均为位移）qaz?zazb (2-23a)
、qbz?zb带入上式，可得
11TTTUf?qa,qb??qTKq?qKq?qbKbbqb?faqa?fbTqb (2-23b) aaaaaabb22T式中fa、fb分别为基本区段a端与b端的外力，可认为是已知量；KTaa?Kaa、Kbb?Kbb、
KTba?Kab。当不考虑动力作用时，Kaa、Kbb皆为正定。
为求得结构内各点的状态向量，现将结构长度l划分为n份，得一系列首尾相连的子区段，各区段的长度可以任意选取，但通常都是等长的，每段长度记为?，即
?＝zk?zk?1，与k的选取无关。整个结构区间内各点处的位移、内力，可通过将其区间
内部的位移q转换为用qa、qb表示的函数来确定，特别是与两端位移qa、qb对应的内力pa、pb。
鉴于哈密顿体系的优越性，此节我们仍沿用哈密顿对偶体系，引入广义动量，使其与广义位移组成对偶变量混合能体系。
引入内力向量
pb??U?Kbaqa?Kbbqb?fa (2-24a) ?qb将上式代入式(2-23b)得
?1?Kbaqa?pb?fb? (2-24b) qb??Kbb基本区段变形能的全变分形式可表示为
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T?U?qa,qb???pTa?qa?pb?qb (2-25)
上式为纯位移法的表示形式，将其转化成混合能的形式可表示为
V?qa,pb??pTbqb?U?qa,qb? (2-26)
由勒让德变换可得
T??V?U??U??qbT?qb???pb????pa???q?q?q?q?q?aaaa?b? (2-27) ?T??U??qb??VT?qb???q?p?bb???p?qb??p?p?qbbb?b??为使上式中仅含有qa和pb两个独立变量，现将式(2-24b)代入区段混合能的表达式(2-27)，消去qb并简化得
11T1TTTTV?qa,pb??pTGp?pFq?qQq?qr?pr?fbGfb (2-28a) bbbaaaaabb222式中F、G、Q称为区段混合能矩阵，分别为：
?1?1?1、F??Kbb、ra?fa?FTfb、rb?Gfb。ra、rb分别为基G?KbbKba、Q?Kaa?KabKbb本区段混合能a端与b端的非齐次项。
将式(2-28)代入(2-27)可得对偶方程组为
qb?Fqa?Gpb?rbpa??Qqa?Fpb?raT (2-28b)
哈密顿矩阵中的A、B、D是已知的，可以是坐标轴z的函数，而区段混合能可由哈密顿函数积分得出，故区段混合能表达式中的矩阵F、G、Q也应当可由A、B、D积分得出，它们的关系满足黎卡提微分方程。为此，下面我们介绍求解黎卡提微分方程的精细积分法。
2.3.2求解黎卡提微分方程的精细积分法
基本区段中的混合能矩阵F、G、Q与哈密顿矩阵中的A、B、D应当满足关系
?dFd???A?GB?F＝F?A?DQ??TT?dGd??D?AG?GA?GBG＝FDF?dQd??FTBF＝B?ATQ?QA?QDQ (2-29) ?方程(2-29)即为黎卡提微分方程，可用精细积分法对其进行数值求解。精细积分法
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