有两个要点：①运用2类算法，将区段长度分割得特别小，再对此运用非常精密的方法将误差排除在计算机字长之外；②计算中只考虑其待求矩阵、向量的增量，以免除舍入误差的干扰[52]。 (1)区段?的混合能矩阵
根据要点①，将积分步长（即划分的区段长）?再细分为2N段，通常选择
N?20,2N?1048576,??N?2N (2-30)
运用泰勒级数展开，可将区段混合能矩阵F、G、Q按幂级数形式展开为
F????I?F????,F??????1???2?2??3?3??4?4?O?54G????γ1??γ2?2?γ3?3?γ4?4?O?5Q????θ1??θ2?2?θ3?3?θ4?45???O????? (2-31)
式中?i、?i、?i（i?1,2,3,4）均为幂级数泰勒展开时的n?n阶系数矩阵。上式展开到第四阶，所略去的相对误差为O?4??4/1024，是非常小的量，已超出了当前计算机所能达到的计算精度[39]。
将式(2-31)代入(2-29)，用待定系数法比较?的各阶次幂，可求得待定系数矩阵为
γ1?D,γ4γ3?Aγ2?γ2AT?γ1Bγ1/33?????Aγγ2?Aγ1?γ1AT/2??? (2-32a)
?γ3AT?γ2Bγ1?γ1Bγ2/4??1?A,?2??A?1?γ1B?/2 (2-32b) ?3??A?2?γ2B?γ1B?1?/3?4??A?3?γ3B?γ2B?1?γ1B?2?/4θ1?B,θ4Tθ3??2B?B?2??1TB?1/3T3????θ2??1TB?B?1/2??? (2-32c)
TB?B?3??2B?1??1TB?2/4?(2)两区段混合能的合并消元 相邻区段上的混合能分别为
TTTT(1)T(1)V1(qa,pb)?pbG1pb/2?qaQ1qa/2?pbF1qa?qara?pbrbV2(qb,pc)?pG2pc/2?qQ2qb/2?pF2qb?qr合并后区段混合能用下标c表示
TcTbTcT(2)ba?prT(2)cb (2-33)
Vc?qb,pc??staV1?qa,pb??V2?qb,pc??pTbqb (2-34a)
?? 19
式中sta表明对qb和pb都应当取驻值予以消元，即
T???V1?qa,pb??V2?qb,pc??pbqb?qb?0 ? (2-34b) T???V1?qa,pb??V2?qb,pc??pbqb?pb?0????将式(2-28)代入式(2-34b)得：
??qb?G1pb?F1qa?0 (2-35) ?T?p?Qq?Fp?01b2c?b由式(2-35)可求得
Tqb??I?G1Q2?F1qa?G1F2pc?G1rb(2)?rb(1)?1?1pb???I?QG??F21T2pc?Q2F1qa?Qr?1(1)2b?r(2)b? ? (2-36)
将式(2-36)代入式(2-28)，可合并导出区段的合并公式为
Fc?F2?I?G1Q2?F1?1Gc?G2?F2G1?Q2Qc?Q1?F1T??Q?12??G?1?1TF2?1ra(c)?ra(1)?F1T?I?Q2G1?ra(2)?Q2rb(1)?1rb(c)?rb(2)?F2?I?G1Q2???r?1F1
(1)b (2-37)
?G1rb(2)??当?很小时，F???趋于单位阵，运用式(2-37)直接计算Fc得到的也近乎是单位阵。重要的是o???部分，因此将I部分从F???中分离出来，在数值计算时若?很小，则应当计算F?。这一步正是精细积分法的第二个要点：关注F阵的增量F?而剥离掉单位阵部分。由于在计算时外荷载加在区段?的两端，每小段?上的混合能矩阵F、G、Q均相同，且合并过程中可以不用考虑ra、rb，所以，当2个?段合并为一个2?段时，式(2-37)应修改为
Fc???F??GQ/2??I?GQ???I?GQ??F??GQ/2??F??I?GQ?F??1?1?1Gc?G??I?F??G?1?QQcT?1??I?F???Q??I?F???Q?G??I?F???1T?1? (2-38)
Fc?I?Fc?公式(2-38)适用于区段长度很小时，尤其适用于2N算法生成长为?的区段的混合能。
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2.4 MATLAB程序设计介绍
MATLAB是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写。当今的科学研究和工程应用，需要进行大量的数学计算，其中包括矩阵运算，这些计算一般来说难以用手工精确、快捷的求出，而需要借助于计算机编制相应的程序来辅助计算。MATLAB提供了一种人机交换的数学系统环境，该软件具有强大的矩阵计算功能，可利用一般的符号和函数就可以对矩阵进行加、减、乘、除运算以及转置和求逆等运算，而且可以处理稀疏矩阵等特殊的矩阵。它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，用其来解决矩阵问题要比其他语言软件如C语言、FORTRAN语言等完成相同的事情简捷的多。
下面简要介绍一下MATLAB的优点：
1. 语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富且有功能丰富的工具箱。 2. 运算符丰富，程序的编制没有严格的限制，程序设计自由度大。
3. MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环、while循环、break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
4. 程序的可移植性好：用MATLAB编制的程序基本上不做修改就可以在其他型号的计算机或操作系统上运行。
5. MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN语言和C语言里，不容易绘制图形，而在MATLAB里，数据的图形化转化则非常简单。
本课题所做的研究中运算多为矩阵之间的计算，计算复杂且工作量大，鉴于MATLAB软件在矩阵运算及数值计算精度等方面的优异表现，故选其进行编程计算。
2.5 本章小结
本章首先简要介绍了拉格朗日方程与哈密顿变分原理及两者之间的关系，通过广义位移q得出系统的拉格朗日方程，而后引入广义动量p，建立了哈密顿函数及哈密顿正则方程。从区段总势能从发，以黎卡提微分方程为切入点，推导了区段混合能矩阵，介绍了两端边值问题的精细积分法，最后简单介绍了MATLAB语言的基本知识和特点，为论文的下一步展开做好铺垫。
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第三章 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁结构弯扭分析
3.1 箱形截面桥梁的计算模型
箱形截面桥梁的类型很多，根据其截面形式的不同，还可再分为T形截面桥梁、槽形截面桥梁、箱形截面桥梁等结构体系。箱形截面早期应用于普通钢筋混凝土悬臂梁桥和连续梁桥，一般采用在支架上现浇施工。近代由于预应力混凝土的发展及现代施工技术的进步，箱形截面更加广泛应用于各种现代桥梁，而且一般采用无支架施工，尤其是在梁式桥梁上的应用最为普遍。据统计，在已建成的预应力混凝土桥梁中，当跨径超过60m后，除极少数外，其横截面大多为箱形截面，其结构形式有简支、悬臂、T形刚构、连续梁等。截面形式如图3-1。在城市高架桥中，则常采用梯形单箱单室截面与单柱墩
BB B?12~18m?
B?22~32m? B?22m?
图3-1 箱形截面形式
配合；在现代斜拉桥中，也广泛应用箱形截面；在拱式桥梁中，大跨径的钢筋混凝土拱桥也大都采用箱形截面。
箱形截面桥梁结构实际上属于薄壁杆件，目前国内外建成的钢筋混凝土箱形截面桥梁结构，其跨度(l)、截面宽度(b)、壁厚(?)大多均可满足薄壁杆件的条件。薄壁杆件一般是指截面厚度较薄的等截面直杆，其在一个方向上的尺度远大于另外两个方向的尺度，即薄壁杆件是长条形的，其长度远大于截面尺度，且壁厚又远小于截面的宽度或高度[54]，通常满足下列关系：
??s?l?0.1bl?0.1~0.2 (3-1)
式中壁厚??s?是截面轮廓曲线s的函数，b为截面宽度或高度的最大值，l为杆件的长度。
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除此之外，箱形截面桥梁中的横隔板起着分段加肋的作用，应用薄壁杆件约束扭转理论分析箱形截面桥梁结构时，恰能保证“符拉索夫刚周边假定”(3.3将详述)。故箱形截面桥梁实质上可以看作是薄壁杆件结构的一种模型，采用薄壁杆件约束扭转理论分析其在竖向荷载和扭转荷载共同作用下的受力情况，计算模型与实际结构吻合较好，分析方法切实可行。
3.2 箱形截面桥梁的剪力滞后效应
剪力滞现象的产生是由于箱梁翼板的剪切变形使翼板远离肋板处的纵向位移滞后于肋板根部处，从而使得的弯曲应力的横向分布呈曲线形状。
如图3-2的悬臂箱形梁，在平行于AB截面处，应用初等梁的弯曲理论，顶板上应该得到均匀分布的弯曲拉应力。但实际上，腹板传递的剪力流在腹板与翼缘板的交接处要大，而向板内传递的过程，由于翼缘板存在着剪切变形，故向板内传递的剪力流要逐渐的变小。以顶板为例，其拉应力在顶板宽范围内分布是不均匀的，呈现板的中间小而两边大的分布状态。很明显，肋处的剪力流向板中传递过程，有滞后现象，所以工程界称之谓“剪力滞效应”。如果翼缘板与腹板交接处的法向应力大于按照初等梁理论的计算值，称为“正剪力滞”，反之，
P P 图3-2 悬臂箱梁的剪力滞后现象
A B ?0 初等梁理论值
?a?
?a?正剪力滞效应；?b?负剪力滞效应
则称为“负剪力滞”，如图3-3所示。
?b?
图3-3 考虑剪力滞效应的非均匀弯曲应力分布
对称荷载作用下，箱梁的上下翼缘板，考虑剪切变形后，它的弯曲应力是不均匀
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