的。在研究工作中，这种应力不均匀分部的程度通常用翼板计算点的法向应力与按照初等梁理论所求得的法向应力的比值，即剪力滞系数λ来表示。剪力滞系数是衡量剪力滞影响程度的主要指标，当λ越大于1时，则表示剪力滞越严重；当λ等于1时，说明截面内没有剪力滞现象的发生。很明显，上下翼板愈宽，梁高愈低，梁跨径愈小，剪力滞效应就愈突出。
3.3 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁弯扭分析
薄壁杆件在外荷载作用下主要将发生弯曲和扭转，若当某些外荷载达到一定数值时，杆件还有可能发生失稳。所以，对薄壁杆件的研究主要集中在研究薄壁杆件的弯曲、扭转和稳定性问题。
薄壁杆件的弯曲与扭转在早期的研究中是分别考虑的。薄壁梁的弯曲理论建立在平截面假定的基础上，因此除了闭口薄壁梁的弯曲剪应力计算外，一般可用材料力学的方法进行求解。薄壁杆件的扭转分为自由扭转和约束扭转两种。自由扭转指杆件在扭转时不受任何约束，截面可以自由翘曲。自由扭转理论是18世纪中叶由圣维南(St.Venant)提出的，故自由扭转又可称为圣维南扭转。约束扭转时，杆件截面的翘曲受到约束，在杆件内引起翘曲应力的同时，使杆件又发生了弯曲，因此约束扭转又可称为弯曲扭转。
工程中常见的箱形截面桥梁大多采用两端扭转固定的线形支承、一端固定另一端自由等支承形式，在竖向和扭转荷载作用下，结构将发生约束扭转，在此先对乌曼斯基提出的闭口薄壁杆件的约束扭转理论进行简单介绍。
乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论是乌曼斯基于1939年提出的，采用如下基本假定：在小变形条件下，杆件截面外形轮廓线在其自身平面内保持刚性即不变形，在截面外方向(杆轴z方向)可以任意翘曲即扭转前后截面在与纵轴垂直的截面上的投影不变。此即为符拉索夫刚周边假定。此理论方法简单且适用性强，是分析闭口薄壁杆件约束扭转问题的常用方法。
进一步的研究表明,闭口薄壁杆件受截面周边变形的影响实际上是不大的,而且箱形截面桥梁内分布的横隔板起到对截面的约束作用，更使其周边变形可忽略不计，恰好迎合了符拉索夫刚周边假定。所以应用乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论分析箱形截面桥梁结构，是一种较为合理的方法。
3.3.1 坐标系及基本假定
建立如文献[6]中的直角坐标系，其中O为截面形心、S为截面扭心，x轴和y轴为截面的形心主惯性轴，z轴与杆件的母线平行，且通过截面形心。曲线坐标s沿杆件外形轮廓线量取，杆件截面上任一点P可由坐标z和s完全确定。现规定，位移u、v、
w分别沿x、y、z轴正向为正，转角?x?z?、?y?z?及扭角??z?分别按右手法则绕x、y、
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z轴正向转动为正。
在薄壁杆件的弯扭作用问题中，不失一般性，我们考虑杆件在xoz平面内的弯曲，在yoz平面内的弯曲及绕z轴的扭转。在以下的薄壁杆件弯扭作用分析中，我们采用如下基本假定：
①研究薄壁杆件绕z轴扭转时，将符拉索夫刚周边假定应用于截面的切向位移
??s,z??h?s???z? (3-2)
式中h?s?为截面上任一点P的切线到扭心的距离，??z?为截面z的扭转角。 ②此外，沿曲线坐标s方向的环向应力?s和法向应力?n远比横截面的轴向应力?z小，可忽略不计。
③只在竖向弯曲中计入剪力滞效应。
3.3.2薄壁箱形截面桥梁的位移场函数
在研究薄壁杆件截面的切向位移函数时，我们同时考虑双向弯曲和扭转所带来的切向位移函数。假设薄壁杆件逐次经过绕x轴弯曲、绕y轴弯曲以及绕扭心S的扭转三个过程，然后将它们向切向?轴投影求和，即可求得薄壁杆件截面的切向位移函数。然后，用形心和扭心的位移所表示的任意点P的切向位移函数，可得
dy?s?dx?s??＝?1＋?2＋?3＝?v0?z??xs??z????u0?z??ys??z???h?s???z? (3-3) dsds式中u0?z?、v0?z?——分别为形心沿x轴、y轴的位移； xs、ys——扭心的坐标；
x?s?、y?s?——断面上任意点P的坐标； h?s?——截面上任一点P的切线到扭心的距离；
??z?——截面z的扭转角。
3.3.3 薄壁箱形截面桥梁在弯扭作用下的插值精细积分法
为了描述箱形桥梁的实际受力状态，体现其在横隔板的作用下存在的正（负）剪力滞后效应，现摒弃传统理论研究中采用的对结构变形前后的平截面假定，而寻找一种近似方法能逼近结构变形后的实际位移。如图3-5所示，把箱形截面桥梁沿纵向划分为若干个有限宽度的条形单元，单元的纵向边界线为结线，条形单元通过结线连接在一起，全部的条形单
图3-5 条元划分 Fig.3-5 Strip element division 元组合成箱形截面梁。取一方向（沿结构的纵向）的位移为基本广义位移，另一方向（可沿横截面的法线方向）的翘曲位移用关于基本广义位移的函数的差值来表示，这样求出的位移是逼近真实荷载情况下的翘曲位移，它反映了结构在弯扭作用下的剪力滞后现
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象。
在薄壁杆件的弯扭作用问题中，为了更真实的表示薄壁杆件结构的实际变形，我们应用函数的插值描述杆件的纵向翘曲位移，利用插值函数的思想达到逼近杆件实际变形的效果；对于杆件的切向位移，仍采用3.2.1中的符拉索夫刚周边假定。为此，我们采用如下假定：
将箱形截面桥梁沿纵向划分为若干个有限宽度的条形单元，沿条形单元的纵向是真实的连续函数(广义位移)，沿箱形截面的横向则用函数的插值来模拟翘曲位移：
w?s,z???wi?z??i?s? （3-6）
i?1n式中：wi?z?——截面所分条单元交界线处的纵向翘曲位移；
s1?
sn1
?
si
sn2 ? sn3
?i?s?——关于各交界线处纵
向翘曲位移的插值函数。可以选取线性、二次、三次或其他高次插值函数来模拟杆件的实际纵向翘曲位移。此处，我们只求清晰的介绍理论，故选用较简单的分段线性插值函数来描述薄壁杆件的纵向翘曲位移：
我们按照图3-6所示依次写出
sn5
?
图3-6 截面线性插值
Fig.3-6 Linear interpolation for section
sn
… sn3?1
… sn4
?i?s?：
?1?s??1?s?s1d?s1?s?s2? （3-7a）
?s?sn1?1?d??1?s?sn1?n1?s???d?s?sn??d0??s?sn1?1?s?sn1??n1?s?sn1?1 （3-7b）
?sn?s?sn?1?其他?0?s?si1???d?i?s???s?si?1?d???0?si?1?s?si??i?2,3,?,n1?1,n1?1,?n2?1,??? ? （3-7c）?si?s?si?1??n?1,?,n?1,n?1,?,n233???s?si?1??s?si?1? 26
?s?sn2?1?d?s?sn2??1??n2?s???d?s?sn?12??d??0??s?sn2?1?s?sn2??n2?s?sn2?1 （3-7d） ?s?sn3?1其他?s?sn3???n?s??1?3s?sn3?1dn3?1?s?sn3 （3-7e）
式中：si——表示第i点的曲线坐标，设箱形截面左上角点为初始坐标s1，顺时针依次为s2,?,sn1,?,sn2,?,sn3,?,sn4,?,sn5,?,sn（如图3-6所示）；
d——表示薄壁杆件截面各分段间距，其值等于d?si?1?si。
将公式（3-7）求导，得
?1?s????1d?s1?s?s2? （3-8a）
?1?d?1??n1?s????d??1?d?0??0?1????i?s???d1???d??0?s?sn1?1?s?sn1?? （3-8b）
n1?s?sn1?1?sn?s?sn?1?其他?si?1?s?si??si?s?si?1??s?si?1??s?si?1??i?2,3,?,n1?1,n1?1,?n2?1,?? ?n?1,?,n?1,n?1,?,n?? （3-8c）
33?2??1sn2?1?s?sn2?d?1?sn2?s?sn2?1?n2?s????d （3-8d） ??1sn3?s?sn3?1??d?0其他?1?n3?s???sn3?1?s?sn3? （3-8e） ?d??????引用向量w(z)??w1?z?,w2?s?,?,wn?s??、??s????1?s?,?2?s?,?,?n?s??，
TT则纵向翘曲位移函数用向量的形式可表示为
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w?s,z???wi?z??i?s? （3-9）
i?1n3.3.4 薄壁箱形截面桥梁的哈密顿对偶求解体系
由弹性力学可知，薄壁杆件结构的应变能可写为：
t?＝????z?z??sz?sz?dsdz (3-10)
2由几何方程可知：
?w(s,z)?z (3-11a)
??(s,z)?w(s,z)???z?s?z??sz由物理方程可知：
?z?E?z,?sz?G?sz (3-11b)
则用位移表示的体系总势能可表示为：
22H???w?211????w???d???＝????E???G????dAdz?GJd?????qxu0?qyv0?T??dz(3-12)
2?z?z?s2dz?????0?????式中：E、G——分别为材料的弹性模量和剪切模量；
1 Jd——圣维南扭转常数，其值等于Jd??t3ds；
3??z?——截面z的扭转角；
qx?z?、qy?z?——分别为箱形截面桥梁受到沿纵向变化的分布荷载；
T——箱形截面桥梁受到的扭矩。
将式(3-7) 、(3-9)代入式(3-11a)，即可得轴向应变和剪应变，分别为：
??x?????? (3-13a) ?z?y?xy?sz?dydxd?dydx????u???h?? (3-13b) ?0?xs??0?ys??x??y????vdsdsdsdsds由轴向应变产生的应变能： 1??x??????2dAdz?z????Ey?xy2 (3-14) E2?22?2?2?2xy????????????y2?xxy?x?y????2y??x??2xw?y?dAdz2??????由于x轴和y轴为截面的形心主惯性轴，?为以扭心为极点的主扇性坐标，则有：
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