第一部分 集合
1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义.
例1、 已知集P?{y|y?x,x?R},Q?{y|y?2x,x?R}，求P?Q.
【分析：集合P、Q分别表示函数y?x2与y?2x在定义域R上的值域，所以P?[0,??)，
Q?(0,??)，P?Q?(0,??).】
例2、 设A集合
??1A??yy?2，x?R?x?1??，B?xy?x?1，x?R??，则
B?___________.
【分析：集合P、Q分别表示函数y?x2与y?2x在定义域R上的值域，所以P?[0,??)，
Q?(0,??)，P?Q?(0,??).】
2. 对于空集?的讨论不要遗漏.
例3、 若A?{x|x2?a},B?{x|x?2}且A?B??，求a的取值范围.
【分析：集合A有可能是空集.当a?0时，A??，此时A?B??成立；当a?0时，
A?(?a,a)，若A?B??，则a?2，有0?a?4.综上知，a?4.注意：在集合
运算时要注意学会转化A?B?A?A?B等.】
例4、 已知集合A?xx2?3x?2?0，x?R，B?xx2?mx?2?0，x?R，A则m的取值范围是_________.
【分析：AB?B?B?A，说明B中的解一定是A中的解或者是无解】
例5、 【2003年秋季理科】a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“
????B?B，
a1b1c1??”是“M=N”的 a2b2c2
（ ）
A．充分非必要条件. C．充要条件
B．必要非充分条件. D．既非充分又非必要条件.
【分析：不要忘记两个不等式均无解】 【答案：D】
3. 区间端点的取舍讨论.
例6、 【长宁区(文)】已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是_________ 【答案：?4,???】
例7、 【闵行2011一模第12题】已知条件p:x?1?2；条件q:x?a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 【答案：?1,???】
??BR?例8、 【2009年上海秋季高考】已知集合A??x|x?1且A??，B??x|x?a?，
则实数a的取值范围是______________________ .
【答案：a?1】
??x?k?0，x?R?，且A例9、 若集合A?xx2?2x?8?0，x?R，B??x?x?k?1?，
??B??，
则实数k的取值范围是_______. 【答案：(??,?4]
(1,??)】
4. 充分必要条件的判断
?36?a?例10、 【2010年春季高考】若a1,a2,a3均为单位向量，则1??3,3??是
??a1?a2?a3??3,6的 （ ）
? Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件
【答案：B】
例11、 【松江区15】设a,b?R，则“a?b?2且ab?1”是“a?1且b?1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案：B】
例12、 【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题是……（ ） （A）“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”； （B）直线“a?b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”； （C）两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面?所成角相等”； （D）“直线a//平面?”的必要不充分条件是“直线a平行于平面?内的一条直线”． 【答案：C】
第二部分 不等式
1. 解分式不等式时注意等价变形
例1、 不等式
x?1?0的解集是_______________． x?4【答案：(?4,?1]】
例2、 不等式
2?x?2的解集是_______________． x?4【答案：(?4,?2]】
例3、 【2008学年青浦区一模第11题) 设函数f(x)的定义域为[?4,4]，其图像如下图，
那么不等式
f(x)?0的解集为____________. sinxy-4-2O14x
【答案：[?4,??)[?2,0)[1,?)
?4?】
2. 注意对不等式最高次项系数的讨论（是不是为0，判断正负号）
例1、 若关于x的不等式kx2?kx?2?0的解集为R，则实数k的取值范围是___________. 【答案：{x|?8?x?0}】
例2、 【2011年徐汇区一模第21题】
已知关于x的不等式(kx?k?4)(x?4)?0，其中k?R。
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使
得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由。
【答案：
221．解： （1）当k?0时，A?(??,4)； ………………2分 当k?0且k?2时，
k?2?4………………4分 k4?A?(??,4)(k?,??)；……………………5分
k当k?2时，A?(??,4)当k?0时，A?(k?(4,??)；（不单独分析k?2时的情况不扣分）
4,4).……………….7分 k（2） 由（1）知：当k?0时， A中整数的个数为无限个；………………..9分
当k?0时，A中整数的个数为有限个， ……………11分
4因为k???4，当且仅当k??2时取等号，……………12分
k所以当k??2时，A中整数的个数最少。…………….14分
】
例3、 【2011闸北区一模理第9题】
若不等式ax?bx?c?0的解集为{x|?1?x?2}，则不等式为 ．
【答案：{x|?2?1?x?0}】
3. 不等式证明题——利用特殊值法只能排除错的选项！；
例1、 【2007年上海秋季高考第13题】
已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是
A、a?b B、ab?ab C、【答案：C 】
例2、 【2008年南汇一模第13题】 若a?b?0，则下列结论中不恒成立的是（ ） ．．．．
222222a?b?c?b|x|的解集x11ba?? D、22ababab