5. 数列中的数列问题
【例1】【2010年金山区一模第22题】已知等差数列?an?中，a3?7，a1?a2?a3?12，令bn?anan?1，数列{1}的前n项和为Tn.n?N* bn（1）求?an?的通项公式；∴an?3n?2. n?N* （2）求证：Tn?1； 3Tn?的探究，写出“T1,Tm,Tn成等比数列”的一个真命题并说明理由（3）通过对数列?（1?m?n，m,n?N*）. 当且仅当正整数m=2,n=16时，T1,Tm,Tn成等比数列.
??an+c，an<3
【例2】【2008年上海高考第20题】已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝?an
， a≥3n?d?
⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式
⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100
11111
⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥3m时，求证：数列a2－，a3m+2－，a6m+2－，
mmmmm1
a9m+2－成等比数列当且仅当d＝3m
m
?1,n?3k?2??【答案：（1）由题意得an??2,n?3k?1,(k?Z)
?3,n?3k?(2) ∴S100?11(11?31)a1?198 23 （3）证明略】
【例3】【2011年徐汇区二模理科第23题】设等比数列?an?的首项为a1?2，公比为q(q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列
?bn?满足
32n2?(t?bn)n?bn?0(t?R,n?N*)。
2(1)求数列?an?的通项公式；
(2)试确定实数t的值，使得数列?bn?为等差数列；
(3)当数列?bn?为等差数列时，对每个正整数k，在ak和ak?1之间插入bk个2，得到一个新数列?cn?。设Tn是数列?cn?的前n项和，试求满足Tm?2cm?1的所有正整数m。 【答案：（1）an?2n(n?N*) （2）t?3
（3）满足题意的正整数仅有m?2。
【例4】【2010年上海六校联考第23题】已知：函数f(x)?总有an?f(2x?3，数列{an}对n?2,n?N3x1),a1?1； an?1（1）求{an}的通项公式。
(2) 求和：Sn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5?（3）若数列{bn}满足：①{bn}为{?(?1)n?1anan?1
11}的子数列（即{bn}中的每一项都是{}的项，且按anan在{11}中的顺序排列）②{bn}为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在？
2an若存在，求出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。
6、数列中数的讨论
例13、【2009年上海高考理第23题】已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。
（1）若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2）找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,
**an?1?bn,并说明理由；若ana1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是数列
?bn?中的一项，请证明。
【答案：（1）不存在m、k?N*，使等式成立。
（2）有an?c?0，bn?1，使对一切n???，（3） 当且仅当p?3s,s?N，命题成立。】
an?1?bn an7、数列极限
an?2n?1【例1】(a??2)=_____ nn?1lim2?an???1?a,a?2?【答案：?2,a?2】
?1,a?2??
8、概率与排列组合
【例1】口袋里有2个白球，3个红球，5个黑球，从中任取2个球，求取出的两球颜色不同的概率。
【答案：P(A)?1?P(A?)?1?
1431?】4545
第六部分 复数部分
1. 复数计算问题，常见的化简；
说明：注意复数运算与向量运算/实数运算的异同
［例1］【2011年卢湾区二模文理第1题】设i为虚数单位，计算
1?i? . i【答案：1?i；注意计算细节i??1】
［例2］【2010年长宁区二模文科第一题】设i为虚数单位，则复数
2i?_________1?i
【答案：
?1?i】 23?i?______________． 1?i［例3］【2010年嘉定区一模第一题】设i为虚数单位，计算【答案：2?i】
2. 复数问题实数化时，设复数z?a?bi，不要忘记条件a,b?R.
说明：两复数相等的条件是实部与虚部分别相等.这是复数求值的主要依据.根据条件，
求复数的值经常作实数化处理.若z为实数，则虚部为零，若z为纯虚数，则实部为零，虚部不为零.
［例1］【2010年闵行区二模文理第1题】若则a?b?
【分析：?2i?1?a?bi?a?1,b??1】
［例2］【2010年静安区一模文理第3题】若复数z满足z?(1?i)?2（其中i为虚数单位），则Rez?_________.
2?i?a?bi（i为虚数单位，a、b?R），i【答案：设z?a?bi(a,b?R)，原式化为(a?bi)(1?i)?2，得a?b?(a?b)i?2，
求得Rez?a?1】
［例3］【2011年闸北区二模文理第1题】已知z和
z?2都是纯虚数,那么z? ． 1?i【答案：设z?bi(b?R)，原式化为
bi?2是纯虚数，得b??2，得z??2i】 1?i3. 实系数一元二次方程
说明：实系数一元二次方程根的情况可通过判别式判断。若存在虚根，则此两虚根互为
共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.
132i)是实系数方程ax2?bx?1?0［例1］ 【2010年崇明县二模文理第8题】复数z?(?22的根，则ab? . 【答案：z1?(?12133213i)???i，则z2???i， 22222b1??1 且 z1?z2??1，求得a?1,b?1.所得即为1】 aa得z1?z2??
［例2］【2010年杨浦区二模文理第17题】若z是实系数方程x?2x?p?0的一个虚根，且z?2，则p?_______.
【答案：实系数一元二次方程若有虚根，则两根必互为共轭，z1.z2?|z|?p?4】
［例3］【2011年黄浦区二模理第8题】已知0?m?1(m?R)，?是方程x?mx?1?0的根，则|?|= ．
【答案：根据判别式可知，实系数一元二次方程有2个虚根，则z1.z2?|?|?1】
2［例4］若方程x?bx?2?0(b?R)的两根?,?满足|???|?2，求实数b的值.
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