第八部分 立体几何
1. 点、线、面的关系
［例1］【2011年杨浦区二模理第7题】已知直线m?平面?，直线n在平面?内，给出下列四个命题：①
?//??m?n；②????m//n；③m?n??//?；④
m//n????，其中真命题的序号是 . 【分析：熟悉点线面的的一些常用定理，直线垂直平面，则垂直于平面内任意一条直线。
若两平面平行，则该直线也垂直于此平面。】
［例2］【2011年闵行区二模文理第15题】给定空间中的直线l及平面?，条件“直线l与平面?垂直”是“直线l与平面?内无数条直线垂直”的（ ）
A. 充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
【分析：直线与平面垂直，则该直线垂直平面内任意一条直线，“无数条”不是“任意”】
［例3］【2010年浦东新区二模理第15题】“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析：直线与平面平行的定义即为直线与平面没有公共点】
2. 常见空间图形的面积，体积公式
［例1］【2010年闵行区二模第6题】已知球O的半径为R，一平面截球所得的截面面积为
4?，球心到该截面的距离为5，则球O的体积等于 . 【分析：平面截球所得的截面即为一平面圆，所以该圆半径即为2，
又由于球心到该截面距离为5，而球体半径， 截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形，
由勾股定理可得球体半径为3，根据球的体积公式V?
4?R3?36?。】 3［例2］【2010年松江区二模第4题】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为?，则球的表面积为 ．
【分析：球体半径，截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形,
计算可得球体半径为2，根据球的表面积公式S?4?R?8?】
2
［例3］【2011年闸北区二模文理第7题】设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12?的球面上，则该正方体的体积为 ．
【分析：由于正方体的各个顶点都在球面上，可知，该正方体的中心和球的球心为同一点，
则正方体体对角线等于该球的直径，又由于球的表面积为12?， 所以根据球的表面积计算公式可得半径为3， 所以正方体的边长为2，体积即得，等于8】
3. 异面直线的角度范围
说明：直线与平面所成角的范围是[0,?]；两异面直线所成角的范围是(0,].特别要
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?注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a时，其所成角的大小应为
arccos|a|.
［例1］【2011年杨浦区二模理第9题】在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=3，AD=2；线
段 PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA =2，则异面直线PC与BD所成的角等于 （用反三角函数表示）. 【分析： arccos
［例2］【2011年闵行区二模文理第19题】如图，已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的
314或2arcsin】 77P是AD1的中点，求异面直线AA1与B1P所成的长方体，?AD1A1?4，点1?60，ADo角（结果用反三角函数表示）．
D
B
P C
. A1 B1 C1
D1
【分析： arctan
15】 3［例3］【2011年普陀区二模理科第21题】如图，PA?平面ABCD，四边形ABCD是正方形， PA?AD?2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点. 求异面直线EG与BD所成角的大小；
z PEABFDCQGy x
【分析：异面直线EG与BD所成角大小为arccos
3.】 64. 图形的旋转（绕哪根轴），立体图形的平面展开图，截面问题
［例1］【2011年闵行区二模文理第6题】圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2?cm，半径为2cm，则该圆锥的体积为____ cm. 【分析：圆锥的体积为
3?3】
［例2］【2010年普陀区一模文理第9题】如图，OABC是边长为1的正方形，AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为 .
C
B
O
第9题图
A
【分析：阴影部分体积等于
?3】
BC?4cm，AB?5cm，［例3］【2010年黄浦一模文理第11题】在?ABC中，AC?3cm，现以BC边所在的直线为轴把?ABC(及其内部)旋转一周后，所得几何体全面积是___cm2 【分析：S?S底面+S表面=9?+.5.2?.3?24?】
2
15. 立体图形中点线面的计算，特别是点到平面距离的求解
［例1］【2011年徐汇区二模理科第20题】如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为20?，OA?2，?AOP?120?。
AP所成角的大小；（1）求异面直线A（结果用反三角函数值表示） 1B与
（2）求点A到平面A1PB的距离。
A1O1B1A
OPB
AP所成角的大小为arccos【分析：（1）异面直线A1B 与
23. 5（2）点A到平面A1PB的距离d?
n?A1An?126】 ?7。277［例2］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离. A1 C1
B1
E A
C B
【分析：（1）三棱柱的体积V=26.
（2）点C到平面BAC1的距离为
266.】 11［例3］【2010年卢湾区二模理科第20题】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，过
A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD?AC11D1，
且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A1A的长；
（2）求点D到平面A1BC1的距离．
D1A1C1DABC
【分析：（1）A1A的长为3．