第五部分 数列
1. 数列的通项公式
【例1】【2011年虹口区二模文理第2题】数列?an?的前n项和Sn?n2?n?3，则通项公式an? ． 【答案：?
【例2】【2011年嘉定区一模文理第23题】已知数列?an?的前n项和为Sn，对任意n?N*，点(n,Sn)都在函数
??1(n?1)】
?2n(n?2)f(x)?2x2?x的图像上．
（1）求数列?an?的通项公式；
【例3】数列{an}满足
11a1?2a2?22?1an?2n?5，则an= n22. 等比数列的证明与性质
【例1】【2011年黄浦区二模理第21题】已知函数f(x)?4x?2(x??1，x?R)，数列?an?x?1满足 a1?a(a??1，a?R)，an?1?f(an)(n?N*)． (1)若数列?an?是常数列，求a的值； (2)当a1?4时，记bn?an?2证明数列?bn?是等比数列，并求出通项公式an． (n?N*)，
an?1【答案： (1)实数a的值是1或2．
2()n?222n?12n*(2)bn?()?()(n?N)． an?3】 (n?N*)．
2n333()?13
【例2】【2010年上海高考第20题】已知数列?an?的前
n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，
n?N*，证明：?an?1?是等比数列；
【答案：略】
【例3】【2011年上海卢湾区二模第22题】已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列，
公差为d（d ?0）．在a,b之间和b,c之间共插入n个实数，使得这n?3个数构成等比数列，其公比为q． （1）求证：|q|?1；
（2）若a?1, n?1，求d的值；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且s,t都为奇数，试
比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a,c,n表示）
【答案：（1）由题意知qn?2?c，c?a?2d， ac2d?1??1， aa又a?0,d?0，可得qn?2?即|qn?2|?1，故|q|n?2?1，又n?2是正数，故|q|?1．
（2）由a,b,c是首项为1、公差为d的等差数列，故b?1?d,c?1?2d， 若插入的这一个数位于a,b之间，则1?d?q2，1?2d?q3， 消去q可得(1?2d)2?(1?d)3，即d3?d2?d?0，其正根为d?若插入的这一个数位于b,c之间，则1?d?q，1?2d?q3， 消去q可得1?2d?(1?d)3，即d3?3d2?d?0，此方程无正根． 故所求公差d?1?5． 21?5． 2（3）由题意得qs?1?ba?dca?2d，qt?1??，又a?0,d?0， ?aaba?da?da?2dd2a?da?2da?2d???0，可得故，又??0， aa?da(a?d)aa?da?d故qs?1?qt?1?0，即|q|s?1?|q|t?1． 又|q|?1，故有s?1?t?1，即s?t．
设n?3个数所构成的等比数列为{an}，则a1?a,as?2?b?由akan?4?k?a1an?3?ac(k?2,3,4,…，n?2)，可得
a?c,an?3?c， 2(a2a3…an?2)2?(a2an?2)(a3an?1)…(an?1a3)(an?2a2)?(ac)n?1，
又qs?1?bc?0，qt?1??0， ab由s,t都为奇数，则q既可为正数，也可为负数， ①若q为正数，则a2a3…an?2?(ac)n?12n?12(ac)2； ，插入n个数的乘积为
a?c②若q为负数，a2,a3,…,an?2中共有故a2a3…an?2?(?1)n(?1)2n?1个负数， 2(ac)n?12nn?1(?1)22，所插入的数的乘积为(?1)(ac)2．
a?cn?12(ac)2； 所以当n?4k?2(k?N*)时，所插入n个数的积为
a?cn?12(ac)2． 】 当n?4k(k?N*）时，所插入n个数的积为?a?c
3. 数列求和
【例1】求和Sn?123n?2?3?????n. xxxx?121n?n，当n为偶数时；??22 （分类讨论求和）【答案：Sn??】 2??n?n，当n为奇数时.??2
【例2】【2010年上海六校联考第23题】已知：函数f(x)?总有an?f(2x?3，数列{an}对n?2,n?N3x1),a1?1； an?1(1)求{an}的通项公式。
(2) 求和：Sn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5??(?1)n?1anan?1
【答案：（1）an?2n?1(n?N*) 3?222?n?n??93（2）Sn??2?2n?6n?7?9?
n为偶数】
n为奇数1?1?【例3】【2011年徐汇区二模理科第14题】设函数f(x)?x???，O为坐标原点，
2x?1??xAn为函数y?f(x)图象上横坐标为n(n?N*)的点，向量OAn与向量i?(1,0)的夹角为
?n，则满足tan?1?tan?2?【答案：3018】
?tan?n?5的最大整数n的值为 。 34. 最大、最小项思想
【例1】【2011年闵行区二模文理第8题】已知数列{an}是以?15为首项，2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，则数列{Sn}的最小项为第 项. 【答案：8】
【例2】【2011年杨浦区二模文理第23题】设二次函数f(x)?(k?4)x?kx对任意实数x，有f(x)?6x?2恒成立；数列{an}满足an?1?f(an). （1） 求函数f(x)的解析式和值域；
（2） 试写出一个区间(a,b)，使得当a1?(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增
数列，并说明理由； （3） 已知a1?2(k?R)，
1?，是否存在非零整数?，使得对任意n?N，都有 3???????1??1??1?n?1n?121(?21)?log?nlog3??log3??????log3?????1???2n?1????32 3log111??a1???a2???an??2??2??2? 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.
【答案：（1）k?2，所以f(x)??2x2?2x， 其值域为(??,]. （2）数列{an}在区间(0,)上是递增数列.
注：本题的区间也可以是[,)、[,)、[,)等无穷多个】
【例3】【2010年嘉定区一模第23题】已知函数f(x)?log2是f(x)图像上两点．
(1)若x1?x2?1，求证：y1?y2为定值； (2)设Tn?f???f?????f?12121152114211322xP(x,y)P(x,y)，111、2221?x?1??n??2??n??n?1? ?，其中n?N*且n?2，求Tn关于n的解析式；
?n?(3)对（2）中的Tn，设数列?an?满足a1?2，当n?2时，an?4Tn?2，问是否存在角a，
?1??1??1?????1?1?1?使不等式?…?????a1??a2??an?sin???对一切n?N*都成立？若存在，求出角?2n?1??的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案：（1）当x1?x2?1时，y1?y2为定值1．
（2）
Tn?n?12（n?N*，n?2）．
（3）f(n)的最大值为
f(1)??2???3?2k??,2k???33??k?Z】 ?2，的取值范围为
【例4】【2010年上海高考第20题】已知数列?an?的前
n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，
n?N*
（1）证明：?an?1?是等比数列；
（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。