中考应试领航者 2012年俊陶中考应试策略之数学篇 Dream Top Education
不能再转动为止.如图14②，得到最大旋转角∠BMO=_______度，此时点N到CD的距离是______________.
探究二 将图14①中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片
A M O N α B
MOP绕点M在AB、CD之间顺时针旋转. 6 ⑴如图14③，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小
P 距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值： C ⑵如图14④，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直M 图14 ①
D 线CD上，请确定α的取值范围.
A B
O 333（参考数据：sin49°=4，cos41°=4，tan37°=4）
N 6 C
P D
评析：本题以学生熟悉的生活中的半圆在限定空间旋转问题来构思为原型，图14 ②
是课题学习领域考查的一种有益尝试，通过观察对直观图形由简单到复杂的变化过程，大大减少了文字量，降低了对学生文字阅读能力的要求。题目发A M B
掘并串联了点与线的位置关系、点与圆的位置关系（或数量关系）、切线的判α O 6 定等圆中的重要内容，突出了圆在实际生活中的作用，深刻考查了解直角三
P 角形问题、垂径定理和圆心角、分类讨论等问题，本题带有浓郁的探究成份，C D 是数与形的有机结合，打破了以往程式化的设问方式，要完成本题学生需要A
M 图14 ③
B
有较强的学习、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力。所以，这类试题多有较好的区分度。 α O 6 C
P 图14 ④
D
例7、如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的
速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）. ⑴求c、b（用含t的代数式表示）；
⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
y A D P －O 1 1 x N M 21C ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=8B ；
图15 ③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.
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中考应试领航者 2012年俊陶中考应试策略之数学篇 Dream Top Education 评析：本题是以开口向上大小固定、且恒过原点的动态抛物线与动点P主相融合的探究性综合题。以点与曲线的双移动为背景，把动点和变换引进坐标系中，增加了题目的探究性。将待定系数法、一元二次方程的求解与判断、几何图形中的数量关系建立函数、推理探索、数形结合思想、转化思想、分类讨论的思想等等多个知识相综合， 设问中的三个问题,入手简单，步步推进、层次清晰，特别是最后一问平分“好点”问题，融入合情推理以及函数的增减性，动手观察运动的抛物线的特殊情形，依据曲线变化的连续性（即由量变到质变的辩证性）等考查了学生对结论作出判断的能力，在较深层次知识交汇点上设计问题，挖掘了“数”与“形”的奇妙的联系，突出了中考试题的思考性和延伸性。从而使题目在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的区分度。
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答案部分
例1、B 例2、3
1例3、解（1） P（得到负数）=3
（2）用下表列举所有的可能结果：
从上表可知，一共有九种可能，其中两人得到的数相同的有三种，
1因此 P（两人“不谋而合”）=3 （注：画树状图正确也相应给分）
例4、解（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得： 2040?20?20x?1 解得：x?80.经检验x?80是原方程的解. 答：乙单独整理80分钟完工.
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意得：
3080?y40?1，
解得：y ?25
答：甲至少整理25分钟完工.
z（注：以下解答也给分.设甲、乙分别整理y,z分钟，得80?y40?1.∴z?80?2y.
∵z?30，∴80?2y?30，∴y?25.）
例5 、解：（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ，∴DC?DA，?DCE??DAG?90°.
又∵CE?AG，∴⊿DCE≌⊿DAG.∴?EDC??GDA，DE?DG.又∵?ADE??EDC?90?,
∴?ADE??GDA?90?,∴DE?DG.
（2）如图2（注：图3或其它画法正确的相应给分） （3）四边形CEFK是平行四边形。
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证明：设CK,DE相交于M点.
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG, ∵BK=AG, ∴KG=AB=CD, ∴四边形CKGD为平行四边形. ∴CK=DG=EF, CK∥DG.
∴?KME??GDE??DEF?90?.∴?KME??DEF?180?.∴CK∥EF,
∴四边形CEFK是平行四边形.
(注：由CK∥DG, EF∥DG得CK∥EF也可)
S2正方形ABCDn（4）
S=正方形DEFGn2?1.
.
例6、解：思考 90，2. 探究一 30，2.
探究二、（1）由已知得M与P的距离为4，∴当MP?AB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6?4?2.
当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时，?MP与AB相切，此时旋转角最大，?BMO的最大值为90°.
（2）如图4，由探究一可知，点P是?MP与CD的切点时，a达到最大，即OP?CD.此时，
延长PO交AB于点H，a最大值为?OMH??OHM?30??90??120?.
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP?CD，a达到最小，连接MP，作OH?MP于点H，由垂径定理，得MH?3，在Rt⊿MOH中，MO=4，
∴
sin?MOH?MHOM?34,∴?MOH?49?，∵a?2?MOH，∴a最小为98?.
∴a的取值范围是98??a?120?.
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例7、解：（1）把x?0,y?0代入y?x2?bx?c，得c?0. 再把x?t,y?0代入
y?x2?bx，得t2?bt?0，∵t?0，∴b??t. （2）①不变.
如图6，当x?1时，y?1?t，故M(1,1?t). ∵tan?AMP?1.∴?AMP?45? ②S?S四边形AMNP-S?PAM =
S?DPN+S梯形NDAM-S?PAM
1=2（t-4)(4t-16)+12?(4t?16)?(t?1)??3?12(t?1)(t?1) 3=2t2?152t?6
3解2t2?1521192t?6=8，得
t1?2,t2?2. ∵4?t?5，∴
t1?12舍去，∴t?92.
7（3）2?t?113
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