北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF， ∴
AE2?AB2?92?62?117
ABBE6117?，即? DEEF2EF∴EF=
117 33．（2009年长春）如图，在ABCD中，?BAD?32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE?BC，DF?DC，?EBC??CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．
?
【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 【答案】
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC. 又∵DF=DC， ∴AB=DF. 同理EB=AD.
在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF， ∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△FDA.（4分） （2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠DAF.
∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ∵∠BAD=32°，
∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°.
4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α， 且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．
【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】
（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可） 以下证明△AMF∽△BGM．
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．
（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22分
又∵AMF∽△BGM，∴
AFBMAM?BG ∴BG?AM?BMAF?22?223?83 又AC?BC?42cos45??4，∴CG?4?83?43，CF?4?3?1 ∴FG?CF2?CG2?12?(453)2?3
5.（2009年郴州市）如图，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3， （1）求
ADAB的值，（2）求BC的长
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】相似
【答案】解：（1）因为AD=4，DB=8 所以AB=AD+DB=4+8=12
AD41== AB123（2）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC
DEAD= 所以 BCAB 因为DE=3
31= 所以
BC3所以BC=9
所以
6.（2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
【关键词】相似 【答案】
△ABE 与△ADC相似．理由如下： 在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．
7.(2009武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE；
ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOE（2）当O为AC边中点，B
D F A
O
图1
E C
A
O 图2
B F D E C
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】相似三角形的判定和性质
【答案】解：（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°． ??BAC?90°，??BAF??C． ?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，
??BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；
G B D F E A
O
C
（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． ?AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA． 由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE， ?BF?OE．
??BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD， 又?BAC??AOG?90°，AB?OA．
?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB．
?OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，
?OFBF?OGOFOFOGAB，
OE?BF?AB?2． B D F E A
O
C
解法二：??BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D， ?Rt△BAD∽Rt△BCA．?ADACBD?AB?2． 设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，
?AD?21155，BD?2AD?55． ??BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE， ?BDDF?BOOE． 北京中考网—北达教育旗下门户网站 www.beijing518.com 电话 010-62754468 19
北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 152由（1）知BF?OE，设OE?BF?x，?5，?x?10DF． ?DFx在△DFB中x?21122?x，?x?． 51034224OF3?OF?OB?BF?2?2?2．???2．
33OE223OF?n． （3）OE
8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
PQAD?（如图1所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
S△APQ3（2）在图中，联结AP．当AD?，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，?y，其
2S△PBC中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小． A
D
A
P P Q B
图1
C
（Q） B
C
图2
Q B
图3
D A
D
P C
【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定
【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴
PQAD?=1，∠D=45° PCAB13BC?。 22∴PQ=PC即PB=PC， 过点P作PE⊥BC，则BE=而∠PBC=∠D=45°
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