北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解：（1）矩形（长方形）；
BPBQ?47． （2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．
?CPOCCP6A?B??OA?，即6?8， ?CP?92，BP?BC?CP?72．
同理△B?CQ∽△B?C?O，
?CQC?Q?B?CB?C?，即CQ6?10?68， ?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．
?BPBQ?722． ②在△OCP和△B?A?P中，
???OPC??B?PA?，??OCP??A??90°， ??OC?B?A?，?△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x，
在Rt△OCP中， (8?x)2?62?x2，解得x?254． ?S12575△OPB??2?4?6?4．
（3）存在这样的点P和点Q，使BP?12BQ． 点P的坐标是P?31???9?26，6???7??，P2???4，6??． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 ?S△POQ?12PQ?OC，S1△POQ?2OP?QH， ?PQ?OP．
设BP?x，
y B? P B Q C C? A? A H O x ?BP?12BQ， ?BQ?2x，
① 如图1，当点P在点B左侧时，
OP?PQ?BQ?BP?3x，
在Rt△PCO中，(8?x)2?62?(3x)2，
y B? B A? P C Q H C? A O x 解得x1?1?326，x32?1?26（不符实际，舍去）． ?PC?BC?BP?9?326， ?P?31???9?26，6???． ②如图2，当点P在点B右侧时，
?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．
在Rt△PCO中，(8?x)2?62?x2，解得x?254． ?PC?BC?BP?8?2574?4， ?P?7?2???4，6??．
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 综上可知，存在点P1??9???13?7??6，6?，P2??，6?，使BP?BQ．
22?4??14.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D
与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
（1）当x=0时，折痕EF的长为 # .；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 # .； （2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；
（3）令EF?y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断?EAP与?PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。
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【关键词】相似三角形 【答案】 解：（1）3， （2）1≤x≤3． D
F C
2 A
E
P 图1
B
当x?2时，如图1，连接DE、PF，
?EF为折痕，?DE?PE， 令PE为m，则AE?2?m，
在Rt△ADE中，AD?AE?DE，
222?1?(2?m)2?m2，
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 D E O A P
图2
C F H B 解得m?55，此时菱形边长为．
44（3）如图2，过E作EH⊥BC，
易证△EFH∽△DPA，
?D E A
FHAP?，?FH?3x EHAD(F) C
O P
图3
H B
?y?EF2?EH2?FH2?9?9x2
当F与点C重合时，如图3，连接PF，
?PF?DF?3，?PB?32?12?22，
?0≤x≤3?22．
显然，函数y?9?9x的值在y轴的右侧随x的增大而增大， 当x?3?22时，y有最大值． 此时?EPF?90°，△EAP∽△PBF．
综上所述，当y取最大值时，△EAP∽△PBF，x?3?22（?EPF?90°不写不扣分）．
2，BC?10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一15.（2009恩施市）如图，在△ABC中，?A?90°点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE?x，以DE为折线将△ADE翻折
（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A?DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． （1）用x表示△ADE的面积；
（2）求出0?x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5?x?10时y与x的函数关系式； （4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
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北京中考网—北达教育旗下 www.beijing518.com 电话 010-62754468 A D E B
A?
C
A B
C
【关键词】相似、二次函数
【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴
S?ADES?(DE)2
?ABCBC即S1?ADE?4x2 (2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤x?5 时 y?S?12?ADE4x （3）5?x﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S1△A'DE=S△ADE=4x2
∴DE边上的高AH=AH'=12x 由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知
S?A'MNS?(A'F)2
?A'DEA'HS?A'MN?(x?5)2
∴y?14x2?(x?5)2??34x2?10x?25 （4）在函数y?124x中
∵0﹤x≤5
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